[论文解读] The instability of Bourgain-Wang solutions for the L^2 critical NLS

Frank Merle, Pierre Raphaël+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2010

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 43被引用 5

一句话总结

本文证明了Bourgain-Wang解的不稳定性——即在二维$L^2$-临界非线性薛定谔方程中，具有伪共形爆破速度的光滑、有限时间爆破解的不稳定性。研究表明，$L^2$质量略高于临界值的此类解位于对数对数 regime 中全局散射解与有限时间爆破解的边界上，并在爆破后表现出混沌相位行为。

ABSTRACT

We consider the two dimensional $L^2$ critical nonlinear Schrödinger equation $i\pa_tu+Δu+u|u|^2=0$. In the pioneering work \cite{BW}, Bourgain and Wang have constructed smooth solutions which blow up in finite time $T

研究动机与目标

• 分析Bourgain与Wang为二维$L^2$-临界NLS构造的有限时间爆破解的稳定性。
• 确定$L^2$质量略高于临界阈值$\|Q\|_{L^2}$的解的动力学行为。
• 研究这些爆破解是否具有结构性稳定性，或是否位于不同动力学区域的边界上。
• 探索散射解在爆破时间之后的延拓性质，并恢复临界质量情况下观察到的混沌相位动力学。

提出的方法

• 通过将解分解为正则部分与奇异部分，构造爆破时间附近的精细渐近展开。
• 应用伪共形变换以关联正向与反向动力学，并分析爆破形态。
• 使用类李雅普诺夫泛函与能量估计，控制非线性薛定谔方程中误差项的大小。
• 对基态$Q$附近的线性化算子进行谱分析，以控制不稳定方向。
• 对与广义核模态$Q$、$\Lambda Q$、$|y|^2Q$和$\rho$的内积进行时间积分估计，以控制误差增长。
• 在反向时间中建立一种Bootstrap论证，以控制加权$L^2$范数下解及其导数的大小。

实验结果

研究问题

• RQ1 在初始数据的小扰动下，具有伪共形速度的Bourgain-Wang爆破解是否稳定？
• RQ2 $L^2$质量略高于临界阈值$\|Q\|_{L^2}$的解的动力学行为如何？
• RQ3 这些解是否位于全局散射与有限时间爆破区域的边界上？
• RQ4 散射解能否在爆破时间之后继续延拓，以及会涌现出何种相位动力学？
• RQ5 在临界质量情况下观察到的混沌相位行为是否在超临界质量解中得以保持？

主要发现

• 具有超临界$L^2$质量的Bourgain-Wang解是不稳定的，且位于$H^1$-开集中的全局散射解与有限时间爆破解的边界上。
• 质量略高于$\|Q\|_{L^2}$的解在对数对数 regime 中表现出二分性：它们要么全局散射，要么在有限时间内爆破。
• 本文证明了散射解可以延拓至爆破时间之后，恢复了此前仅在临界质量下观察到的混沌相位行为。
• 渐近展开中误差项的大小受$|t|^{1/2} |t| \sqrt{N(t)}$控制，其中$N(t)$是一个类李雅普诺夫泛函。
• 对与广义核模态（$Q$、$\Lambda Q$、$|y|^2Q$、$\rho$）的内积的控制，是建立不稳定性与边界行为的关键。
• 结果确认Bourgain-Wang解在相空间中并非孤立存在，而是位于一个余维一的不稳定流形上，该流形分隔了不同的长期动力学行为。