[论文解读] The integrable heavenly type equations and their Lie-algebraic structure

O. E. Hentosh, Y. A. Prykarpatsky+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2016

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 32被引用 7

一句话总结

本文通过在环面 $\mathbb{T}^n$ 上的全纯环向量场上应用 AKS-代数结构与 $\mathcal{R}$-结构，建立了一套可积天体型方程的李代数框架。它表明这些方程作为特殊环向量场的 Lax 相容性条件而出现，其可积性源于余伴随轨道与卡西米尔不变量，且可通过拉格朗日–达朗贝尔原理获得力学解释。

ABSTRACT

There are investigated the Lie algebraic structure and integrability properties of a very interesting class of nonlinear dynamical systems called the heavenly equations, which were initiated by Plebański and later analyzed in a series of articles. Based on the AKS-algebraic and related R-structure schemes there are studied orbits of the corresponding co-adjoint actions, deeply related with the classical Lie-Poisson type structures on them. There is successively demonstrated that their compatibility condition proves to coincide exactly with the corresponding heavenly equation under regard. It is stated that all the heavenly equations allow such an origin and can be equivalently represented as a Lax type compatibility condition for specially built loop vector fields on the torus. The infinite hierarchy of conservations laws, related with the heavenly equations is discussed, its analytical structure, connected with the Casimir invariants is mentioned. In addition, the typical examples of the heavenly equations, demonstrating in details their integrability within the scheme devised in the work, are presented. The Lagrangian representation of the heavenly equations following from their Hamiltonicity with respect to both related commuting to each other evolution flows, as well as their associated bi-Hamiltonian structure are also discussed. The relationship of the heavenly type dynamical ssytems with the classical Lagrange-d'Alambert principle is demonstrated.

研究动机与目标

• 通过余伴随轨道理论研究无色散天体型方程的李代数结构与可积性。
• 证明在环面上的 Lax–Sato 系统的相容性条件恰好对应于天体方程。
• 建立无穷多守恒律层次与李–泊松结构的卡西米尔不变量之间的联系。
• 通过拉格朗日–达朗贝尔原理提供可积性方案的几何与力学解释。
• 统一并推广先前关于 Lax–Sato 方程及其在环代数结构中起源的研究成果。

提出的方法

• 在全纯环李代数 $\widetilde{diff}(\mathbb{T}^n)$ 上应用 AKS-代数方案与 $\mathcal{R}$-结构。
• 分析 $\mathcal{\tilde{G}}^*$ 中的余伴随轨道，其与经典李–泊松结构相关联。
• 利用根元 $\tilde{l} \in \mathcal{\tilde{G}}^*$ 与卡西米尔不变量，在 $\mathcal{\tilde{G}}^*$ 上构造两个对易的流。
• 推导出种子微分形式 $\tilde{l}(\lambda)$ 的演化方程 (6.3)，其代表 Lax–Sato 层次。
• 通过将 $\tilde{l}(\lambda)$ 视为虚功、$\tilde{K}(\mu)$ 视为生成向量场，将 Lax 演化解释为拉格朗日–达朗贝尔原理。
• 使用外导数的 Cartan 公式 $L_{\tilde{K}(\mu)} = i_{\tilde{K}(\mu)}d + di_{\tilde{K}(\mu)}$ 表达时间演化。

实验结果

研究问题

• RQ1 天体型方程如何从环代数 $\widetilde{diff}(\mathbb{T}^n)$ 的余伴随作用中涌现？
• RQ2 Lax–Sato 相容性条件与经典天体方程之间的确切关系是什么？
• RQ3 天体方程的守恒律如何通过李–泊松结构的卡西米尔不变量生成？
• RQ4 这些方程的可积性能否通过拉格朗日–达朗贝尔等机械原理进行解释？
• RQ5 $\mathcal{R}$-结构与 AKS 方案在统一这些系统可积结构中扮演何种角色？

主要发现

• 在环面 $\mathbb{T}^n$ 上，Lax–Sato 系统的相容性条件与所考虑的天体型方程完全一致。
• 所有天体方程均源于环代数 $\widetilde{diff}(\mathbb{T}^n)$ 的余伴随轨道结构，其可积性根植于 $\mathcal{R}$-结构与 AKS 方案。
• $\mathcal{\tilde{G}}^*$ 上李–泊松结构的卡西米尔不变量可解析地生成无穷多守恒律层次。
• 种子形式 $\tilde{l}(\lambda)$ 的演化方程 (6.3) 等价于 Lax–Sato 层次，且当虚功 $\delta W(t)$ 为零时，满足拉格朗日–达朗贝尔原理。
• 通过证明在 $\tilde{K}(\mu)$ 生成的流下，若初始虚功为零，则有 $d/dt \, \delta W(t) = 0$，验证了该力学解释的正确性。
• 通过在 $\mathcal{\tilde{G}}^*$ 上存在由根元与卡西米尔不变量生成的对易流，确认了系统的可积性，从而导出双哈密顿结构。