[论文解读] The integrals in Gradshteyn and Ryzhik. Part9: Combinations of logarithms, rational and trigonometric functions

Tewodros Amdeberhan, Victor H. Moll+3 more|ArXiv.org|Jul 14, 2007

Mathematical functions and polynomials参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文提供了涉及对数、有理函数和三角函数的定积分的闭式求值，重点研究对数仅出现一次且有理函数极点为实数或纯虚数的情况。通过部分分式、级数展开以及已知的特殊函数（如卡塔兰常数和正切积分），作者推导出诸如 ∫₀¹ ln x/(1+x) dx = −π²/12 和 ∫₀^{π/4} ln tan x dx = −G 等积分的精确表达式，利用严谨的解析方法扩展了格拉德什泰因与里兹尼克的结果。

ABSTRACT

The classical table of integrals by I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik contains many definite integrals where the integrand is the product of a rational function times the logarithm of another rational function. We begin the systematic evaluation of these integrals.

研究动机与目标

• 系统评估形如 ∫ R₁(x) ln R₂(x) dx 的积分，其中 R₁ 和 R₂ 为有理函数，且对数的幂次 m=1。
• 通过提供对数与三角函数组合的特定条目之解析证明，扩展格拉德什泰因与里兹尼克的结果。
• 将含对数和有理函数的积分用已知常数（如 π²、卡塔兰常数 G 和黎曼ζ函数）表示。
• 通过变量代换（如 x = tan t）建立对数积分与三角积分之间的联系。
• 为未来评估有理函数中更复杂的极点结构奠定基础。

提出的方法

• 利用 ln(1+x) 的级数展开及逐项积分，计算 ∫₀¹ ln(1+x)/x dx = π²/12。
• 使用几何级数和部分分式计算 ∫₀¹ ln x/(1±x) dx，分别得到 −π²/12 和 −π²/6。
• 应用代换 x = tan t 将有理函数积分转化为三角形式，例如 ∫₀¹ ln x/(1+x²) dx = ∫₀^{π/4} ln tan t dt = −G。
• 定义并利用正切积分函数 Ti₂(x) = ∫₀ˣ (tan⁻¹ t)/t dt，表达 ∫₀ᵇ ln t/(1+t²)ⁿ dt 的结果。
• 利用对称性及代换恒等式（如 cos x − sin x = √2 cos(x + π/4)）计算 ∫₀^{π/4} ln(cos x − sin x) dx。
• 应用分部积分和已知的对数积分恒等式，推导出如 ∫₀^{π/2} t cot t dt = (π/2) ln 2 等结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 ∫₀¹ ln x/(1+x) dx 的闭式求值是什么？如何通过初等级数方法推导？
• RQ2 如何将含 ln x 和极点为实数或纯虚数的有理函数的积分约化为标准形式 hₙ,₁(b) 和 hₙ,₂(b)？
• RQ3 ∫₀^{π/4} ln tan x dx 的精确值是多少？它与卡塔兰常数 G 有何关联？
• RQ4 如 x = tan t 或 u = sin x 等代换如何将有理-对数积分转化为三角-对数形式？
• RQ5 特殊函数（如黎曼ζ函数和正切积分）在这些积分求值中起什么作用？

主要发现

• 积分 ∫₀¹ ln(1+x)/x dx 的精确值为 π²/12，通过级数展开及恒等式 ∑ₖ (-1)ᵏ/k² = -ζ(2)/2 推导得出。
• ∫₀¹ ln x/(1+x) dx = −π²/12 的结果通过几何级数展开和逐项积分得到确认。
• 通过代换 x = tan t 及对数三角积分的已知对称性质，确立了 ∫₀^{π/4} ln tan x dx = −G。
• 通过联立求解正弦与余弦积分的方程组，推导出 ∫₀^{π/4} ln(sin x) dx = −(π/4) ln 2 − G/2。
• 利用三角恒等式和已知的对数积分结果，得出 ∫₀^{π/4} ln(cos x − sin x) dx = −(π/8) ln 2 − G/2。
• 通过结合 [0, π/4] 上 ∫ ln(sin x) dx 和 [0, π/2] 上 ∫ ln(cos x) dx 的结果，得出 ∫₀^{π/2} ln(1+tan x) dx = (π/4) ln 2 + G。