[论文解读] The intermediate type of certain moduli spaces of curves

Gavril Farkas, Alessandro Verra|ArXiv.org|Oct 20, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 9

一句话总结

该论文首次建立了具有中间双亏格的曲线模空间的已知实例，证明了8阶偶自守曲线模空间 $\overline{\mathcal{S}}_8^+$ 的双亏格为零——具体而言，属于卡拉比-丘类型。此外，论文进一步表明 $\overline{\mathcal{M}}_{11,11}$ 的双亏格为19，揭示了在模空间理论意义下，11阶曲线比10阶曲线更复杂。

ABSTRACT

A well-known principle of Mumford asserts that all moduli spaces of curves are varieties of general type, except a finite number of cases that occur for relatively small genus, when these varieties tend to be uniruled. In all known cases, the transition from uniruledness to being of general type is quite sudden. For the first time, we show that naturally defined moduli spaces of curves can have intermediate birational type. We show that the moduli space of even spin curves of genus 8 is of Calabi-Yau type. Then we prove that the 41-dimensional moduli space M_{11, 11} of 11-pointed curves of genus 11, has Kodaira dimension 19.

研究动机与目标

• 解决偶自守曲线模空间 $\overline{\mathcal{S}}_8^+$ 的双有理几何问题，该空间处于自守模空间中未解决的中间情形（介于双有理等价与一般型之间）。
• 确立存在具有中间双亏格的曲线模空间，这一现象此前在文献中尚无记载。
• 精确确定不变量 $\zeta(g)$ 的值，该值衡量使 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 具有非负双亏格所需的最少标记点数，尤其针对 $g=11$ 的情形。
• 证明 $\overline{\mathcal{M}}_{11,11}$ 的双亏格为19，揭示了从10阶到11阶曲线复杂性反常增加的反直觉现象。
• 在 $\overline{\mathcal{S}}_8^+$ 中构造扫掠出 theta-零除子的有理曲线，并证明其 canonical 类为刚性，从而推导出双亏格为零。

提出的方法

• 显式构造 canonical 除子 $K_{\u005Coverline{\mathcal{S}}_8^+}$ 的有效代表，表示为 $\mathbb{Q}$-线性组合，包含 theta-零除子 $\u005Coverline{\Theta}_{\mathrm{null}}$、$\pi^*(\u005Coverline{\mathcal{M}}_{8,7}^2)$ 的拉回以及边界除子。
• 利用该除子表示中各分量的刚性性质，推导出 canonical 类为刚性，从而得出 $\kappa(\u005Coverline{\mathcal{S}}_8^+) = 0$。
• 利用 $\overline{\mathcal{M}}_8$ 的 Mukai 模型（作为 $G(2,6)$ 上丛的 GIT 商）来分析包含典范曲线的 $K3$ 曲面的几何结构。
• 构造 $\overline{\mathcal{S}}_8^+$ 中的有理曲线 $R$，使其扫掠出 $\u005Coverline{\Theta}_{\mathrm{null}}$，满足 $R \cdot \u005Coverline{\Theta}_{\mathrm{null}} = -1$ 且 $R \cdot \pi^*(\u005Coverline{\mathcal{M}}_{8,7}^2) = 0$，并证明其避开所有边界除子。
• 利用典范曲线在 $\mathbb{P}^8$ 中的秩4二次曲面的 $K3$ 扩张存在性，通过双椭圆 $K3$ 曲面实现这些有理曲线。
• 应用行列式公式与示性类计算，计算 $\overline{\mathcal{M}}_{7,n}$ 上的交点数，特别是节点闭包 $\u005Coverline{\mathfrak{Node}}_g$ 的闭包。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个自然定义的曲线模空间，其双亏格为中间值，即严格介于双有理等价与一般型之间？
• RQ2 模空间 $\u005Coverline{\mathcal{S}}_8^+$（8阶偶自守曲线的模空间）的双亏格为何？
• RQ3 模空间 $\u005Coverline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 的复杂性如何随 $n$ 增长？使得 $\kappa(\u005Coverline{\mathcal{M}}_{g,n}) \geq 0$ 的最小 $n$ 是多少？
• RQ4 为何 $\u005Coverline{\mathcal{M}}_{11,11}$ 的双亏格为19？这种反直觉现象——11阶曲线比10阶曲线更复杂——如何解释？
• RQ5 能否通过显式有理曲线与除子类计算，证明 $\u005Coverline{\mathcal{S}}_8^+$ 的 canonical 除子为刚性？

主要发现

• 8阶偶自守曲线模空间 $\u005Coverline{\mathcal{S}}_8^+$ 的双亏格为零，因此属于卡拉比-丘类型。
• $\u005Coverline{\mathcal{S}}_8^{-}$（奇自守模空间）是双有理等价的，而 $\u005Coverline{\mathcal{S}}_8^{+}$ 属于卡拉比-丘类型，揭示了8阶时存在的惊人对偶性。
• 模空间 $\u005Coverline{\mathcal{M}}_{11,11}$ 的双亏格为19，其维数为41，这确定了 $\zeta(11) = 11$，表明11阶曲线比10阶曲线更复杂。
• canonical 除子 $K_{\u005Coverline{\mathcal{S}}_8^+}$ 为刚性，因其是刚性除子的 $\mathbb{Q}$-线性组合：$\u005Coverline{\Theta}_{\mathrm{null}}$、$\pi^*(\u005Coverline{\mathcal{M}}_{8,7}^2)$ 以及边界除子。
• 存在一条有理曲线 $R \subset \u005Coverline{\mathcal{S}}_8^+$，扫掠出 $\u005Coverline{\Theta}_{\mathrm{null}}$，满足 $R \cdot \u005Coverline{\Theta}_{\mathrm{null}} = -1$，$R \cdot \pi^*(\u005Coverline{\mathcal{M}}_{8,7}^2) = 0$，且 $R$ 与所有边界除子不相交。
• 在 $\u005Coverline{\mathcal{M}}_{7,13}$ 中构造覆盖曲线 $\Gamma_1$ 和 $\Gamma_2$，通过与 $\lambda$、$\psi_i$ 和 $\delta$ 类的显式交点数，确认 $\u005Coverline{\mathcal{M}}_{7,n}$ 在 $n \leq 13$ 时为双有理等价。