[论文解读] The Inverse of Exact Renormalization Group Flows as Statistical Inference

David S. Berman, Marc S. Klinger|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2022

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 69被引用 4

一句话总结

本文通过证明精确重整化群（ERG）流——由泛函对流-扩散方程控制——可被解释为动力贝叶斯推断的逆过程，建立了ERG流与贝叶斯统计推断之间的对偶性。关键贡献在于构建了一个形式化的对照字典，将ERG特征映射到贝叶斯推断组件，揭示了重整化即信息损失，而推断即信息增益。

ABSTRACT

We build on the view of the Exact Renormalization Group (ERG) as an instantiation of Optimal Transport described by a functional convection-diffusion equation. We provide a new information theoretic perspective for understanding the ERG through the intermediary of Bayesian Statistical Inference. This connection is facilitated by the Dynamical Bayesian Inference scheme, which encodes Bayesian inference in the form of a one parameter family of probability distributions solving an integro-differential equation derived from Bayes' law. In this note, we demonstrate how the Dynamical Bayesian Inference equation is, itself, equivalent to a diffusion equation which we dub Bayesian Diffusion. Identifying the features that define Bayesian Diffusion, and mapping them onto the features that define the ERG, we obtain a dictionary outlining how renormalization can be understood as the inverse of statistical inference.

研究动机与目标

• 建立精确重整化群（ERG）流与贝叶斯统计推断之间的正式对偶性。
• 通过泛函扩散方程重新解释ERG为信息损失过程，与贝叶斯推断作为信息增益形成对比。
• 通过一种新颖的“贝叶斯扩散”方程，推导出动力贝叶斯推断方程与ERG流之间的对应关系。
• 构建一个系统性的对照字典，将ERG组件（如β函数、流参数）映射到贝叶斯推断结构（如似然、先验、后验更新）。
• 证明ERG中的可重整化性与尺度依赖性，对应于贝叶斯推断中的方案独立性与漂移。

提出的方法

• 将ERG流形式化为在场配置概率分布空间上的泛函对流-扩散方程。
• 引入动力贝叶斯推断框架，该框架将贝叶斯更新建模为由贝叶斯定律导出的积分微分方程所控制的连续单参数族概率分布。
• 将所得方程识别为“贝叶斯扩散”过程，即一种具有由先验和似然导出的漂移项与扩散项的扩散型PDE。
• 通过匹配其函数形式与底层几何结构，建立贝叶斯扩散方程与ERG流之间的等价性。
• 利用最优传输理论，将ERG与贝叶斯推断均解释为在概率空间上的流，其中ERG为前向扩散，推断为反向重构。
• 推导出Petz映射作为ERG流的数学对偶，表明ERG的逆等价于通过随机信道的伴随算子实现的贝叶斯推断。

实验结果

研究问题

• RQ1 精确重整化群（ERG）流能否被解释为在概率分布空间中的前向扩散过程？
• RQ2 通过序列数据更新信念的动力贝叶斯推断，与ERG流的逆过程有何关系？
• RQ3 ERG的泛函对流-扩散方程与贝叶斯扩散方程之间的精确数学对应关系是什么？
• RQ4 ERG中的方案独立性与贝叶斯推断中的先验选择，如何通过流方程的结构相互关联？
• RQ5 量子场论中的可重整化性能否被重新解释为贝叶斯推断中的稳定性条件，特别是在流的晚期时间极限下？

主要发现

• ERG流在数学上等价于泛函对流-扩散方程，代表一种连续粗粒化过程，导致信息损失。
• 动力贝叶斯推断通过贝叶斯定律生成一个单参数族概率分布，该过程被证明满足一种扩散型PDE，称为“贝叶斯扩散”。
• 当漂移项与扩散项匹配时，贝叶斯扩散方程与ERG流在形式上等价，从而在推断与重整化之间建立了对偶性。
• ERG流的逆对应于贝叶斯推断，其中ERG中的初始概率分布可通过逆过程中的贝叶斯更新被重构。
• Petz映射（提供随机信道的伴随算子）被证明实现了ERG流的逆，从而在信道理论层面确认了该对偶性。
• 在晚期时间极限下，贝叶斯扩散方程收敛至一个稳定后验分布，类似于ERG流的固定点，从而将重整化群固定点与贝叶斯后验分布联系起来。