[论文解读] The inverse problem for arboreal Galois representations of index two

Andrea Ferraguti, Carlo Pagano+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文通过基于后临界轨道中模平方的线性相关性关系，为指数为二的树形伽罗瓦表示的逆问题提供了显式判别准则，解决了无限正则二叉树的无限自同构群中指数为二的子群作为二次多项式伽罗瓦表示像的判定问题。证明了在 ℚ 上恰好有五个此类子群会无限次出现，并通过组合不变量确立了它们的拓扑非同构性，从而给出了五个不同的无限逆伽罗瓦问题的解。

ABSTRACT

This paper introduces a systematic approach towards the inverse problem for arboreal Galois representations of finite index attached to quadratic polynomials. Let $F$ be a field of characteristic $ eq 2$, $f\in F[x]$ be monic and quadratic and $ρ_f$ be the arboreal Galois representation associated to $f$, taking values in the group $Ω_{\infty}$ of automorphisms of the infinite binary tree. We give a complete description of the maximal closed subgroups of each closed subgroup of index at most two of $Ω_{\infty}$ in terms of linear relations modulo squares among certain universal functions evaluated in elements of the critical orbit of $f$. We use such description in order to derive necessary and sufficient criteria for the image of $ρ_f$ to be a given subgroup of index two of $Ω_\infty$. These depend exclusively on the arithmetic of the critical orbit of $f$. Afterwards, we prove that if $ϕ=x^2+t\in\mathbb Q(t)[x]$, then there exist exactly five distinct subgroups of index two of $Ω_{\infty}$ that can appear as images of $ρ_{ϕ_{t_0}}$ for infinitely many $t_0\in\mathbb Q$, where $ϕ_{t_0}$ is the specialized polynomial. We show that two of them appear infinitely often, and if Vojta's conjecture over $\mathbb Q$ holds true, then so do the remaining ones. Finally, we give an explicit description of the derived series of each subgroup of index two. Using this, we introduce a sequence of combinatorial invariants for subgroups of index two of $Ω_\infty$. With a delicate use of these invariants we are able to establish that such subgroups are pairwise non-isomorphic as topological groups, a result of independent interest. This implies, in particular, that the five aforementioned groups are pairwise distinct topological groups, and therefore yield five genuinely different instances of the infinite inverse Galois problem over $\mathbb Q$.

研究动机与目标

• 对无限根二叉树自同构群 Ω∞ 的所有指数为二的闭子群进行分类。
• 确定哪些此类子群可作为特征 ≠ 2 的域上二次多项式所附着的树形伽罗瓦表示的像。
• 为给定的指数为二的子群提供其可实现为二次多项式表示像的必要且充分条件。
• 确立 Ω∞ 的五个指数为二的子群作为拓扑群彼此非同构，从而在 ℚ 上给出五个不同的无限逆伽罗瓦问题实例。

提出的方法

• 通过 ℤ≥0 上非零向量在 𝔽₂^(ℤ≥0) 中的参数化，对 Ω∞ 的每个指数为二的子群的极大闭子群进行分类，索引基于后临界轨道。
• 将子群结构转化为在多项式 f 的后临界轨道元素上取值的通用函数之间的模平方线性相关性关系。
• 利用指数为二的子群的导出列定义一组组合不变量，以在拓扑上区分它们。
• 证明：若 Vojta 在 ℚ 上的猜想成立，则 x² + t 的无穷多次特化中，五个子群中的三个也会作为像出现。
• 应用 Ihara 理论与 p-进群理论的结果，分析这些子群的纤维商群与更高阶导出列。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征 ≠ 2 的域上，哪些 Ω∞ 的闭子群可作为首一二次多项式所附着的树形伽罗瓦表示的像？
• RQ2 一个二次多项式的后临界轨道需满足何种数论条件，才能使其像为 Ω∞ 的特定指数为二的子群？
• RQ3 如何利用指数为二的子群的导出列与组合不变量来在拓扑群意义下区分它们？
• RQ4 在 ℚ 上，有多少个不同的 Ω∞ 指数为二的子群可作为特化多项式 x² + t₀ 的像出现？其中哪些会无限次出现？
• RQ5 在何种数论假设下（例如 Vojta 猜想），五个指数为二的子群都会作为无穷多个 t₀ ∈ ℚ 的像出现？

主要发现

• 存在恰好五个不同的 Ω∞ 指数为二的子群，它们可作为 ρϕₜ₀ 的像在 ℚ 中无穷多个 t₀ ∈ ℚ 上出现，其中 ϕ = x² + t。
• 在这五个子群中，有两个子群通过显式构造证明会无限次出现。
• 若 Vojta 在 ℚ 上的猜想成立，则其余三个子群也将在无穷多次特化中作为像出现。
• Ω∞ 的五个指数为二的子群作为拓扑群彼此非同构，其证明基于从其导出列导出的一系列组合不变量。
• ρf 的像是给定的 Ω∞ 指数为二的子群，当且仅当在多项式 f 的后临界轨道元素上取值的某些通用函数之间，模平方的线性相关性关系成立。
• 本文证明了在有限域 F×/(F×)² 或后临界有限的多项式上，首一二次多项式的树形表示具有无限指数，从而推广了先前的结果。