[论文解读] The Komlos Conjecture Holds for Vector Colorings

Aleksandar Nikolov|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2013

graph theory and CDMA systems参考文献 10被引用 16

一句话总结

本文证明了对于任意列向量位于单位欧几里得球内的矩阵，向量失衡值至多为1，从而建立了Komlós猜想的一个紧致松弛。通过在矩阵截面和体积界上运用几何与行列式论证，作者表明基于向量失衡值的反例不可能存在，从而支持了该猜想，并借助半定规划技术实现了更优的多项式时间界。

ABSTRACT

The Komlos conjecture in discrepancy theory states that for some constant K and for any m by n matrix A whose columns lie in the unit ball there exists a +/- 1 vector x such that the infinity norm of Ax is bounded above by K. This conjecture also implies the Beck-Fiala conjecture on the discrepancy of bounded degree hypergraphs. Here we prove a natural relaxation of the Komlos conjecture: if the columns of A are assigned unit real vectors rather than +/- 1 then the Komlos conjecture holds with K=1. Our result rules out the possibility of a counterexample to the conjecture based on semidefinite programming. It also opens the way to proving tighter efficient (polynomial-time computable) upper bounds for the conjecture using semidefinite programming techniques.

研究动机与目标

• 为解决Komlós猜想是否可通过向量失衡值这一组合失衡值的自然凸松弛来反驳。
• 为列向量位于单位球内的矩阵建立向量失衡值的紧致上界。
• 通过矩阵行列式与体积比，提供一种几何障碍论证，以排除基于向量失衡值的反例。
• 为实现与Banaszczyk的O(√log m)界相匹配的高效、多项式时间可计算的失衡界开辟路径。
• 通过证明向量失衡值不能作为反例，从而加强Beck-Fiala与Komlós猜想的理论基础。

提出的方法

• 将向量失衡值定义为：在每个列向量被分配一个单位向量（而非±1）的前提下，带符号向量和的无穷范数的最小值。
• 使用对角矩阵W（权重）和P（概率分布）的矩阵记号，将问题重新表述为二次型形式。
• 假设矛盾地认为向量失衡值上界超过1，从而导出对所有向量z均有AᵀPA ⪰ W的不等式。
• 应用Hadamard不等式，通过前k个最大的pᵢ的乘积来界定子矩阵AₖᵀPAₖ的行列式。
• 利用推论2.3，将投影矩阵的行列式与前k个最大的权重wᵢ的乘积联系起来。
• 推导出一系列不等式：对所有k均有p₁⋯pₖ ≥ w₁⋯wₖ，该不等式通过引理3.1可推出∑pᵢ ≥ ∑wᵢ ≥ 1+ε，与∑pᵢ = 1矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过向量失衡值作为松弛来反驳Komlós猜想？
• RQ2 是否存在一个绝对常数K，使得列向量为单位范数的矩阵其向量失衡值有界于K？
• RQ3 向量失衡值上界能否用于推导出与Banaszczyk的O(√log m)结果相匹配的高效、多项式时间失衡界？
• RQ4 矩阵截面与体积比的几何结构是否提供了分析失衡问题的新方法？
• RQ5 向量失衡值中不存在反例是否能支持Beck-Fiala与Komlós猜想的有效性？

主要发现

• 对于任意m×n的实矩阵A，其列向量ℓ₂范数不超过1，其向量失衡值vecdisc(A)至多为1。
• 证明表明，假设向量失衡值大于1将导致通过行列式与体积不等式产生矛盾。
• 在假设AᵀPA ⪰ W的前提下，通过Hadamard不等式与推论2.3，推导出对所有k ≤ n均有p₁⋯pₖ ≥ w₁⋯wₖ。
• 该不等式链表明概率之和∑pᵢ至少等于权重之和∑wᵢ，与∑pᵢ = 1和∑wᵢ ≥ 1+ε矛盾。
• 该结果排除了利用向量失衡值来反驳Komlós猜想的可能性。
• 该工作通过Bansal框架实现了更优的多项式时间失衡算法，提示可实现O(√log m)界，且无需部分着色方法中固有的log n因子。