[论文解读] The $L_\infty$-deformations of associative Rota-Baxter algebras and homotopy Rota-Baxter operators

Apurba Das, Satyendra Kumar Mishra|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2020

Advanced Topics in Algebra参考文献 24被引用 4

一句话总结

该论文利用Voronov的高阶导子括号构造和Maurer-Cartan元的扭变，构建了一个控制相对Rota-Baxter代数形变的$L_∞[1]$-代数。它为相对Rota-Baxter代数定义了上同调理论，并建立了连接底层代数-双模对、Rota-Baxter算子和完整结构上同调的长正合序列，同时将同伦Rota-Baxter算子与同伦Dendriform代数和pre-Lie代数联系起来。

ABSTRACT

A relative Rota-Baxter algebra is a triple $(A, M, T)$ consisting of an algebra $A$, an $A$-bimodule $M$, and a relative Rota-Baxter operator $T$. Using Voronov's derived bracket and a recent work of Lazarev et al., we construct an $L_\infty [1]$-algebra whose Maurer-Cartan elements are precisely relative Rota-Baxter algebras. By a standard twisting, we define a new $L_\infty [1]$-algebra that controls Maurer-Cartan deformations of a relative Rota-Baxter algebra $(A,M,T)$. We introduce the cohomology of a relative Rota-Baxter algebra $(A, M, T)$ and study infinitesimal deformations in terms of this cohomology (in low dimensions). As an application, we deduce cohomology of coboundary skew-symmetric infinitesimal bialgebras and discuss their infinitesimal deformations. Finally, we define homotopy relative Rota-Baxter operators and find their relationship with homotopy dendriform algebras and homotopy pre-Lie algebras.

研究动机与目标

• 通过$L_\infty$-代数发展相对Rota-Baxter代数的形变理论。
• 通过$L_\infty[1]$-代数结构的扭变，为相对Rota-Baxter代数定义上同调理论。
• 建立连接$\mathsf{AssBimod}$-对、Rota-Baxter算子和完整相对Rota-Baxter代数上同调的长正合序列。
• 将Rota-Baxter算子推广到同伦情形，并将其与同伦Dendriform代数和pre-Lie代数联系起来。
• 将该框架应用于余边界斜对称的无穷小双代数，并研究其形变。

提出的方法

• 构造一个其Maurer-Cartan元为$\mathsf{AssBimod}$-对$(A,M)$的分次李代数，然后利用它构建用于此类对形变的微分分次李代数。
• 应用Voronov的高阶导子括号构造，构建一个$L_\infty[1]$-代数，其Maurer-Cartan元为相对Rota-Baxter代数$(A,M,T)$。
• 通过Maurer-Cartan元对$L_\infty[1]$-代数进行标准扭变，得到一个新的$L_\infty[1]$-代数，该代数控制固定相对Rota-Baxter代数的形变。
• 将相对Rota-Baxter代数的上同调定义为扭变后$L_\infty[1]$-代数的上同调。
• 建立连接$(A,M,T)$、$(A,M)$和算子$T$上同调的长正合序列。
• 定义同伦相对Rota-Baxter算子，并证明严格情形下可通过子邻接构造在双模上诱导出$Dend_\infty[1]$-代数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造一个其Maurer-Cartan元为相对Rota-Baxter代数的$L_\infty[1]$-代数？
• RQ2 相对Rota-Baxter代数的上同调理论是什么？它如何控制无穷小形变？
• RQ3 底层$\mathsf{AssBimod}$-对、Rota-Baxter算子和完整结构的上同调之间有何关系？
• RQ4 同伦相对Rota-Baxter算子与同伦Dendriform或pre-Lie代数之间存在何种关系？
• RQ5 余边界斜对称的无穷小双代数如何由$r$-矩阵导出？其形变由什么控制？

主要发现

• 通过Voronov的导子括号和$\mathsf{AssBimod}$-对的先验$L_\infty[1]$-代数，构造了一个其Maurer-Cartan元恰好为相对Rota-Baxter代数$(A,M,T)$的$L_\infty[1]$-代数。
• 通过Maurer-Cartan元扭变原始$L_\infty[1]$-代数，得到一个新的$L_\infty[1]$-代数，该代数控制固定相对Rota-Baxter代数的形变。
• 将相对Rota-Baxter代数的上同调定义为扭变后$L_\infty[1]$-代数的上同调，其无穷小形变由其第二上同调空间分类。
• 建立了连接$\mathsf{AssBimod}$-对$(A,M)$、Rota-Baxter算子$T$和完整相对Rota-Baxter代数$(A,M,T)$上同调的长正合序列。
• 严格同伦相对Rota-Baxter算子在双模$M$上诱导出$Dend_\infty[1]$-代数结构，其结构映射为$\mu_{k,[r]}(u_1,\ldots,u_k) = \eta_k(Tu_1,\ldots,u_r,\ldots,Tu_k)$。
• 由$A_\infty[1]$-代数和$A$上的$L_\infty[1]$-代数结构诱导出的子邻接$pre$-$Lie_\infty[1]$-代数结构一致，证明了构造的一致性。