[论文解读] Generalized Derivations and Rota-Baxter Operators of $n$-ary Hom-Nambu Superalgebras

Sami Mabrouk, Othmen Ncib+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2020

Advanced Topics in Algebra参考文献 74被引用 9

一句话总结

本文通过使用 $(n-2)$-上链，推广了 $n$-元 Hom-Nambu 和 Hom-Lie 超代数，并在该背景下引入了广义导子和 Rota-Baxter 算子。研究证明，Rota-Baxter 算子可诱导出 $3$-Hom-pre-Lie 超代数结构，并且可逆的 Rota-Baxter 算子与 $3$-Hom-Lie 超代数上存在相容的 $3$-Hom-pre-Lie 超代数结构等价。

ABSTRACT

The aim of this paper is to generalise the construction of $n$-ary Hom-Lie bracket by means of an $(n-2)$-cochain of given Hom-Lie algebra to super case inducing a $n$-Hom-Lie superalgebras. We study the notion of generalized derivation and Rota-Baxter operators of $n$-ary Hom-Nambu and $n$-Hom-Lie superalgebras and their relation with generalized derivation and Rota-Baxter operators of Hom-Lie superalgebras. We also introduce the notion of $3$-Hom-pre-Lie superalgebras which is the generalization of $3$-Hom-pre-Lie algebras.

研究动机与目标

• 通过 Hom-Lie 超代数的 $(n-2)$-上链推广 $n$-元 Hom-Lie 超代数的构造。
• 在 $n$-元 Hom-Nambu 和 $n$-Hom-Lie 超代数中研究广义导子和 Rota-Baxter 算子。
• 引入并分析 $3$-Hom-pre-Lie 超代数，作为 $3$-Hom-pre-Lie 代数的推广。
• 建立 Rota-Baxter 算子与 $3$-Hom-Lie 超代数上相容的 $3$-Hom-pre-Lie 超代数结构之间的关系。
• 证明在 $3$-Hom-Lie 超代数上，可逆的 Rota-Baxter 算子可诱导出相容的 $3$-Hom-pre-Lie 超代数结构。

提出的方法

• 通过满足特定相容性条件的 Hom-Lie 超代数和 $(n-2)$-上链构造 $n$-元 Hom-Nambu 超代数。
• 利用底层的 Hom-Lie 超代数结构，在 $n$-元 Hom-Nambu 和 $n$-Hom-Lie 超代数上定义广义导子和 Rota-Baxter 算子。
• 通过公式 $\{x,y,z\} = \mathrm{ad}_{(R(x),R(y))}(z)$ 引入 $3$-Hom-pre-Lie 超代数，其中 $R$ 为 Rota-Baxter 算子。
• 利用超 Nambu 恒等式和 Rota-Baxter 性质，验证所诱导的括号满足 $3$-Hom-pre-Lie 超代数公理。
• 证明若 $R$ 为可逆的 Rota-Baxter 算子，则所诱导的括号 $\{x,y,z\}_{A} = R(\mathrm{ad}_{(R^{-1}(x),R^{-1}(y))}(R^{-1}(z)))$ 定义了一个相容的 $3$-Hom-pre-Lie 超代数。
• 验证图像 $R(A)$ 通过诱导乘积 $\{R(x),R(y),R(z)\}_{R(A)} = R(\{x,y,z\})$ 继承了 $3$-Hom-pre-Lie 超代数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 Hom-Lie 超代数和 $(n-2)$-上链构造 $n$-元 Hom-Nambu 和 $n$-Hom-Lie 超代数？
• RQ2 在 $n$-元 Hom-Nambu 和 $n$-Hom-Lie 超代数中，广义导子与 Rota-Baxter 算子之间存在何种关系？
• RQ3 在何种条件下，Rota-Baxter 算子可诱导出 $3$-Hom-Lie 超代数上的 $3$-Hom-pre-Lie 超代数结构？
• RQ4 在 $3$-Hom-Lie 超代数上，是否存在相容的 $3$-Hom-pre-Lie 超代数结构与可逆 Rota-Baxter 算子之间的一一对应关系？
• RQ5 图像 $R(A)$ 上的 $3$-Hom-pre-Lie 超代数结构与原始代数 $A$ 上的结构有何关联？

主要发现

• 在特定相容性条件下，通过 Hom-Lie 超代数和 $(n-2)$-上链构造 $n$-元 Hom-Nambu 超代数的方法是有效的。
• $n$-元 Hom-Nambu 和 $n$-Hom-Lie 超代数上的 Rota-Baxter 算子满足恒等式 $R([x,y,z]_C) = [R(x),R(y),R(z)]$。
• 当 $R$ 为 Rota-Baxter 算子时，所诱导的括号 $\{x,y,z\}_{C}$ 在 $A$ 上满足 $3$-Hom-pre-Lie 超代数公理。
• 通过 $\{R(x),R(y),R(z)\}_{R(A)} = R(\{x,y,z\})$，图像 $R(A)$ 继承了 $3$-Hom-pre-Lie 超代数结构。
• 在 $3$-Hom-Lie 超代数上，若 $R$ 为可逆的 Rota-Baxter 算子，则其通过公式 $\{x,y,z\}_{A} = R(\mathrm{ad}_{(R^{-1}(x),R^{-1}(y))}(R^{-1}(z)))$ 诱导出相容的 $3$-Hom-pre-Lie 超代数结构。
• 在 $3$-Hom-Lie 超代数上存在相容的 $3$-Hom-pre-Lie 超代数结构，当且仅当存在一个可逆的 Rota-Baxter 算子。