[论文解读] The Langlands-Weissman Program for Brylinski-Deligne extensions

Wee Teck Gan, Fan Gao|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 60被引用 26

一句话总结

本文通过构建魏斯曼框架下的L-群扩张，将朗兰兹纲领推广至布里利尼斯基-德利涅（BD）覆盖群——即半单代数群的非线性代数覆盖群——实现了对覆盖群的局部朗兰兹对应，定义了真实自守表示的自守（部分）L-函数。核心贡献在于为源自代数结构的覆盖群推广朗兰兹对偶性提供了范畴化、代数几何基础。

ABSTRACT

We describe an evolving and conjectural extension of the Langlands program for a class of nonlinear covering groups of algebraic origin studied by Brylinski-Deligne. In particular, we describe the construction of an L-group extension of such a covering group (over a split reductive group) due to Weissman, study some of its properties and discuss a variant of it. Using this L-group extension, we describe a local Langlands correspondence for covering (split) tori and unramified genuine representations, using work of Savin, McNamara, Weissman and W.W. Li. Finally, we define the notion of automorphic (partial) L-functions attached to genuine automorphic representations of the BD covering groups.

研究动机与目标

• 为半单代数群的非线性覆盖群语境下的朗兰兹纲领发展一个通用框架。
• 利用魏斯曼的L-群扩张方法，将经典L-群构造推广至BD覆盖群，从而实现覆盖群的对偶性。
• 建立覆盖环面的无瑕真实表示的局部朗兰兹对应，基于萨文、麦克namara、魏斯曼及李文武的工作。
• 为BD覆盖群的真实自守表示定义并研究自守（部分）L-函数。
• 为更高阶朗兰兹纲领目标（如内形迹、函子性及稳定迹公式）在覆盖群设定下奠定基础。

提出的方法

• 基于增强根系数据与乘法K₂-挠子丛，利用魏斯曼方法为BD覆盖群构造L-群扩张。
• 通过根系与μₙ-中心扩张的函子分类，定义对偶群结构。
• 应用无瑕真实表示理论与萨塔克同构，建立覆盖环面的局部朗兰兹对应。
• 通过标准交错算子与朗兰兹-沙希迪方法，将L-函数定义适配于真实表示。
• 借助李文武发展的覆盖群不变迹公式，支持未来稳定性和内形迹计划。
• 与几何朗兰兹及量子群类比，尤其在Whittaker-Fourier系数与梅塔普利克卡塞尔-沙利卡公式语境下。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将朗兰兹纲领推广至半单代数群的非线性覆盖群，特别是代数起源的覆盖群？
• RQ2 BD覆盖群的L-群正确推广是什么？它与基群对偶群的关系如何？
• RQ3 能否为覆盖环面的无瑕真实表示建立局部朗兰兹对应？
• RQ4 如何为BD覆盖群的真实自守表示定义并研究自守（部分）L-函数？
• RQ5 内形迹、函子性及稳定迹公式理论推广至BD覆盖群设定的前景如何？

主要发现

• 本文基于魏斯曼框架为BD覆盖群构造L-群扩张，提供了一个推广经典朗兰兹对偶的对偶群。
• 为覆盖环面的无瑕真实表示建立了局部朗兰兹对应，扩展了萨文、麦克namara、魏斯曼及李文武的结果。
• 为BD覆盖群的真实自守表示定义了自守（部分）L-函数，推广了线性情形。
• 该理论与已知例子（如梅塔普利克群Mp₂ₙ）一致，其中朗兰兹-沙希迪理论与内形迹理论已部分推广。
• 该框架为更高阶朗兰兹纲领目标（如内形迹、函子性与稳定迹公式）提供了基础，尤其通过李文武的不变迹公式。
• 与几何朗兰兹及量子群的联系被提出，尤其通过Whittaker-Fourier系数与梅塔普利克卡塞尔-沙利卡公式，尽管当前框架尚未纳入量子群。