[论文解读] The Laplacian polynomial of graphs derived from regular graphs and applications

Jia‐Bao Liu, Xiang-Feng Pan+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2014

Graph theory and applications参考文献 9被引用 3

一句话总结

该论文推导了新型图运算 RT(G) 的拉普拉斯多项式与基尔霍夫指数公式，其中 RT(G) 通过将正则图 G 的每条边和每个顶点均转换为三角形而构建。利用谱图论与舒尔补技术，论文建立了 Kf(RT(G)) 关于 Kf(G)、顶点数与度数的显式公式，并给出了紧致下界。主要贡献在于为 RT(G) 的基尔霍夫指数提供了闭式表达式，且在完全图、环图与完全二分图上得到验证。

ABSTRACT

Let $R(G)$ be the graph obtained from $G$ by adding a new vertex corresponding to each edge of $G$ and by joining each new vertex to the end vertices of the corresponding edge. Let $RT(G)$ be the graph obtained from $R(G)$ by adding a new edge corresponding to every vertex of $G$, and by joining each new edge to every vertex of $G$. In this paper, we determine the Laplacian polynomials of $RT(G)$ of a regular graph $G$. Moreover, we derive formulae and lower bounds of Kirchhoff index of the graphs. Finally we also present the formulae for calculating the Kirchhoff index of some special graphs as applications, which show the correction and efficiency of the proposed results.

研究动机与目标

• 定义并分析一种新的图运算 RT(G)，其将正则图 G 的每条边与每个顶点均转换为三角形。
• 利用谱图论推导正则图的 RT(G) 的拉普拉斯多项式。
• 为 RT(G) 的基尔霍夫指数推导显式公式与下界。
• 在完全图、环图与完全二分图等特殊图类上验证结果。

提出的方法

• 将 RT(G) 定义为：先对 G 应用 R(G)（边转三角形变换），再为每个顶点添加一条新边，使其两端点与新边的两个顶点相连。
• 利用舒尔补法，基于原正则图 G 的拉普拉斯特征值，计算 RT(G) 的拉普拉斯特征值与多项式。
• 利用正则图已知的拉普拉斯谱与 RT(G) 的结构，推导 L(RT(G)) 的特征多项式。
• 应用基于非零拉普拉斯特征值与 Moore-Penrose 逆矩阵迹的基尔霍夫指数公式。
• 利用 G 与 RT(G) 的拉普拉斯特征值之间的关系，将 Kf(RT(G)) 表示为 Kf(G)、n（顶点数）与 r（度数）的函数。
• 结合 Kf(G) 的已知下界与推导公式，建立 Kf(RT(G)) 的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 G 为正则图时，RT(G) 的拉普拉斯多项式是什么？
• RQ2 如何用原正则图 G 的基尔霍夫指数与参数表示 RT(G) 的基尔霍夫指数？
• RQ3 在 n 与 r 的表达下，RT(G) 的基尔霍夫指数的最紧致下界是什么？
• RQ4 所推导的公式在完全图 Kn、环图 Cn 与完全二分图 Kn,n 等特定正则图类上的表现如何？
• RQ5 能否通过在小图上独立计算等效电阻距离，验证 Kf(RT(G)) 的公式？

主要发现

• 对于具有 n 个顶点的 r-正则图 G，RT(G) 的基尔霍夫指数为：Kf(RT(G)) = ((r+6)²/6)Kf(G) + ((r+5)n)/2 + ((r+6)(5n-4)n)/6 + ((r-2)(r+6)n²)/8。
• 当 G ≅ K₂ 时，公式给出 Kf(RT(K₂)) = 74/3，与直接的等效电阻距离计算结果一致。
• 当 G ≅ C₃ 时，公式给出 Kf(RT(C₃)) = 455/6，与显式计算结果一致。
• Kf(RT(G)) 的下界为：Kf(RT(G)) ≥ ((r+6)²(n²−n−r))/(6r) + ((r+5)n)/2 + ((r+6)(5n−4)n)/6 + ((r−2)(r+6)n²)/8，当且仅当 G ≅ Kn 或 G ≅ Kn/2,n/2（n 为偶数）时取等。
• Kf(RT(Kn)) 的公式为：Kf(RT(Kn)) = ((r+6)²(n−1))/6 + ((r+5)n)/2 + ((r+6)(5n−4)n)/6 + ((r−2)(r+6)n²)/8，其中 r = n−1。
• Kf(RT(Kn,n)) 的公式为：Kf(RT(Kn,n)) = ((r+6)²(4n−3))/6 + (r+5)n + ((r+6)(10n−4)n)/3 + ((r−2)(r+6)n²)/2，其中 r = n。