[论文解读] The level structure in quantum K-theory and mock theta functions

Yongbin Ruan, Ming Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2018

Advanced Mathematical Identities参考文献 48被引用 20

一句话总结

本文通过在拟映射模空间上使用行列式线丛，引入了量子K-理论中的层级结构，建立了J-函数的阿代尔特征刻画，并证明了关于环面代数簇的置换等变量子K-理论的镜像定理。令人惊讶的是，在简单例子的镜像映射中，拉马努金的模θ函数被发现出现。

ABSTRACT

This is the first in a sequence of papers to develop the theory of levels in quantum K-theory and study its applications. Our main results in this paper are toric mirror theorems for permutation-equivariant quantum K-theory with level structure. In some of the simplest examples, we see the surprising appearance of Ramanujan's mock theta functions.

研究动机与目标

• 通过在拟映射模空间上的行列式线丛引入层级参数，发展量子K-理论中的层级理论。
• 在层级结构的量子K-理论中，推广Givental-Tonita的方法，提供J-函数的阿代尔特征刻画。
• 利用层级结构，建立光滑射影环面代数簇的置换等变量子K-理论的镜像定理。
• 探索拉马努金的模θ函数在简单例子的镜像映射中出现的现象，将数论与量子K-理论联系起来。

提出的方法

• 将层级-l行列式线丛定义为从拟映射模空间堆栈到主G-丛模空间的遗忘态射下，通用丛上上同调行列式的逆的拉回。
• 通过通用曲线和取值映射，将定义推广到一般光滑射影代数簇，利用向量丛的上拉的导出直接像。
• 在拟映射理论中构造层级-l小I-函数，将其表达为包含q-Pochhammer符号和单值参数的生成函数。
• 利用量子K-理论锥的阿代尔描述，以层级-l结构表征J-函数的像。
• 应用留数公式和对称化理论，验证其与镜像猜想的一致性，特别是在非等变极限下。
• 由于K-理论S-算子的多项式性质存在漏洞，从墙交叉方法转为使用Givental-Tonita的阿代尔技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 表示理论中的层级概念能否自然地融入量子K-理论？
• RQ2 层级结构如何影响拟映射框架中J-函数和量子K-理论锥？
• RQ3 在层级结构的量子K-理论中，J-函数的阿代尔特征刻画是什么？
• RQ4 模θ函数是否自然地出现在环面代数簇的量子K-理论镜像映射中？
• RQ5 能否使用阿代尔方法，为具有层级结构的置换等变量子K-理论建立镜像定理？

主要发现

• 层级-l行列式线丛定义为 $\mathcal{D}^{R,l} = \mu^*(\text{det}_R)^l$，其中 $\mu$ 是从拟映射模空间堆栈到主丛模空间的遗忘态射。
• 在层级结构的量子K-理论中，建立了J-函数的阿代尔特征刻画，通过对其称化理论推广了非层级情形。
• 证明了具有层级结构的光滑射影环面代数簇的置换等变量子K-理论的镜像定理。
• 在非等变极限下，层级-l小I-函数位于对称化理论中的量子K-理论锥 $\mathcal{L}_{S_{\infty}}^{R,l}$ 上。
• 对于目标 $X_{a,-b} = (\mathbb{C}^2 \setminus \{0\}) / \mathbb{C}^*$，其非扭分量的轨道I-函数用q-Pochhammer符号表示，并通过变换揭示了类模θ函数的结构。
• 在 $X_{\mathbf{1},-\mathbf{1}} = O(-1)^{\oplus r}_{\mathbb{P}^{s-1}}$ 的情形下，I-函数通过指数 $q^{\frac{n(n-1)}{2}})^{1+s-r}$ 展现出与模θ函数相关的形式，特别是在 $l = 1+s$ 时。