[论文解读] The Lieb-Schultz-Mattis Theorem: A Topological Point of View

Hal Tasaki|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2022

Quantum many-body systems被引用 8

一句话总结

本文為一维量子自旋系统中的李布-舒尔茨-马蒂斯（LSM）定理提供了现代的拓扑重表述，证明当填充因子非整数时，具有U(1)或离散 $Χ_2\timesΧ_2$ 对称性的系统无法拥有局部唯一的能隙基态。该结果通过拓扑不变量——具体而言，U(1) 对称性下的填充因子指标和离散对称性下的奥加塔指标——得以建立，为理解对称性保护的拓扑相提供了一个统一且拓扑鲁棒的框架。

ABSTRACT

We review the Lieb-Schultz-Mattis theorem and its variants, which are no-go theorems that state that a quantum many-body system with certain conditions cannot have a locally-unique gapped ground state. We restrict ourselves to one-dimensional quantum spin systems and discuss both the generalized Lieb-Schultz-Mattis theorem for models with U(1) symmetry and the extended Lieb-Schultz-Mattis theorem for models with discrete symmetry. We also discuss the implication of the same arguments to systems on the infinite cylinder, both with the periodic boundary conditions and with the spiral boundary conditions. For models with U(1) symmetry, we here present a rearranged version of the original proof of Lieb, Schultz, and Mattis based on the twist operator. As the title suggests we take a modern topological point of view and prove the generalized Lieb-Schultz-Mattis theorem by making use of a topological index (which coincides with the filling factor). By a topological index, we mean an index that characterizes a locally-unique gapped ground state and is invariant under continuous (or smooth) modification of the ground state. For models with discrete symmetry, we describe the basic idea of the most general proof based on the topological index introduced in the context of symmetry-protected topological phases. We start from background materials such as the classification of projective representations of the symmetry group. We also review the notion that we call a locally-unique gapped ground state of a quantum spin system on an infinite lattice and present basic theorems. This notion turns out to be natural and useful from the physicists' point of view. We have tried to make the present article readable and almost self-contained. We only assume basic knowledge about quantum spin systems.

研究动机与目标

• 通过基于填充因子的拓扑指标，重新推导U(1)对称自旋链的广义李布-舒尔茨-马蒂斯定理。
• 利用奥加塔指标（一种来自对称性保护拓扑相的拓扑不变量），将LSM定理扩展至具有离散 $Χ_2\timesΧ_2$ 对称性的系统。
• 确立局部唯一能隙基态作为量子多体物理中自然且有用的概念。
• 将LSM型定理推广至无限圆柱面系统及具有螺旋边界条件的系统，展示其在几何与拓扑变化下的鲁棒性。
• 呈现一份自包含且易于理解的综述，将原始变分证明与现代拓扑场论及指标理论联系起来。

提出的方法

• 使用扭算符重构原始LSM证明，并推导变分能量估计，表明具有扭结边界条件的试探态能量接近基态能量。
• 引入填充因子作为表征局部唯一能隙基态的拓扑不变量，且在哈密顿量连续形变下保持不变。
• 应用奥加塔指标——一种从对称群的投影表示中导出的拓扑不变量——对具有离散对称性的能隙相进行分类。
• 利用GNS构造与谱隙估计，证明基态的非简并性以及基态能量之上存在能隙。
• 分析具有周期性与螺旋边界条件的无限圆柱面上的系统，表明拓扑障碍在这些边界条件下依然存在。
• 通过基于谱隙与态纯度的反证法，建立拓扑指标与局部唯一能隙基态不存在之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用拓扑指标而非变分论证，重新证明U(1)对称自旋链的广义李布-舒尔茨-马蒂斯定理？
• RQ2 在具有离散 $Χ_2\timesΧ_2$ 对称性的系统中，何种拓扑不变量表征了局部唯一能隙基态的禁止障碍？
• RQ3 LSM型定理如何推广至具有周期性与螺旋边界条件的无限圆柱面上的量子自旋系统？
• RQ4 填充因子作为拓扑指标，在决定能隙且局部唯一的基态是否存在方面起什么作用？
• RQ5 奥加塔指标如何与一维自旋系统中对称性保护拓扑相的分类相关联？

主要发现

• 填充因子（即每个原胞的平均自旋）作为拓扑指标，在U(1)对称系统中，若存在局部唯一能隙基态，则其必须为整数。
• 对于具有 $Χ_2\timesΧ_2$ 对称性的系统，奥加塔指标——源自群的投影表示——必须为零，才能存在局部唯一能隙基态。
• 当填充因子为 $1/2$（非整数）时，$S=1/2$ 反铁磁海森堡链的原始LSM定理由特殊情形恢复，从而禁止存在局部唯一能隙基态。
• 扭曲试探态 $| ilde{Ψ} angle = \hat{U}_{\rm twist}|Φ_{\rm GS}\rangle$ 的能量上界为 $E_{\rm GS} + \mathcal{O}(1/L)$，表明该态与基态近乎简并。
• 在无限圆柱面上，LSM型定理对周期性与螺旋边界条件均成立，表明拓扑障碍在边界条件改变下依然稳健。
• GNS哈密顿量 $H_{\rm GNS}$ 在能量0处具有非简并基态，且谱隙大小至少为 $\gamma$，这意味着基态是纯态，且系统无法存在简并能隙基态而不违反谱隙条件。