[论文解读] The Limit of the Empirical Measure of the Product of Two Independent Mallows Permutations

Ke Jin|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文建立了两个独立Mallows排列的乘积的经验测度几乎必然弱收敛到具有特定密度的极限概率测度。在条件 $ n(1 - q_n) \to \beta $ 下进行渐近分析，推导出极限密度为两个Mallows型密度的卷积，为随机排列理论中乘积测度收敛提供了非平凡的例子。

ABSTRACT

The Mallows measure is a probability measure on $S_n$ where the probability of a permutation $π$ is proportional to $q^{l(π)}$ with $q > 0$ being a parameter and $l(π)$ the number of inversions in $π$. We show the convergence of the random empirical measure of the product of two independent permutations drawn from the Mallows measure, when $q$ is a function of $n$ and $n(1-q)$ has limit in $\mathbb{R}$ as $n o \infty$.

研究动机与目标

• 建立当 $ n \to \infty $ 时，两个独立Mallows排列乘积所诱导的经验测度的弱收敛性。
• 在 $ n(1 - q_n) \to \beta \in \mathbb{R} $ 的参数范围内，刻画乘积排列的极限概率测度。
• 将先前关于单个Mallows排列的结果推广到乘积情形，为具有显式极限行为的非i.i.d.排列模型提供新类别。
• 为研究两个独立Mallows排列中最长公共子序列问题提供理论基础。
• 探讨乘积排列的经验测度在何种条件下弱收敛，动机源于随机排列极限的一般性问题。

提出的方法

• 分析当 $ q_n $ 以 $ 1 - \frac{\beta}{n} $ 的速率趋近于1时，$ S_n $ 上Mallows测度的渐近行为，其中 $ \beta \in \mathbb{R} $。
• 采用Starr结果中给出的显式密度 $ u(x, y, \beta) $ 作为单个Mallows排列的极限分布。
• 基于矩收敛性以及对 $ \frac{\pi(i)}{n} $ 的泛函的期望和协方差的统一有界性，提出一种新方法。
• 推导出乘积排列 $ \tau \circ \pi $ 的极限密度 $ \rho(x, y) = \int_0^1 u(x, t, \beta) \cdot u(t, y, \gamma) \, dt $，其中 $ \pi, \tau $ 为独立的Mallows排列，参数分别为 $ q_n, q_n' $。
• 通过建立期望的统一收敛性及协方差趋于零，证明经验测度的弱收敛性。
• 依赖关键引理与命题（引理1、引理2、引理3、命题3），这些结果利用了Mallows测度的代数与概率结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ n(1 - q_n) \to \beta $ 时，两个独立Mallows排列乘积的经验测度是否在 $ n \to \infty $ 下弱收敛？
• RQ2 在标度极限下，乘积排列的极限概率测度的显式形式是什么？
• RQ3 极限测度能否表示为两个Mallows排列个体极限密度的卷积？
• RQ4 在个体排列收敛到已知极限的前提下，乘积排列的经验测度在何种条件下弱收敛？
• RQ5 单个Mallows排列的经验测度的弱收敛是几乎必然的，还是仅依概率成立？

主要发现

• 当 $ \pi, \tau $ 为独立的Mallows排列，参数分别为 $ q_n, q_n' $ 时，其乘积 $ \tau \circ \pi $ 的经验测度在概率意义下弱收敛到具有密度 $ \rho(x, y) = \int_0^1 u(x, t, \beta) \cdot u(t, y, \gamma) \, dt $ 的极限测度。
• 极限密度 $ \rho(x, y) $ 是单个极限密度 $ u(x, y, \beta) $ 和 $ u(x, y, \gamma) $ 的复合，反映了对称群的群结构。
• 对任意连续函数 $ f: [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{R} $，归一化和 $ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left( \frac{i}{n}, \frac{\tau \circ \pi(i)}{n} \right) $ 依概率收敛到 $ \int_0^1 \int_0^1 f(x, y) \rho(x, y) \, dx \, dy $。
• 收敛在索引 $ i $ 上是一致的，且当 $ i \neq j $ 时，$ f(\pi(i)/n) $ 与 $ f(\pi(j)/n) $ 之间的协方差一致趋于零，表明渐近不相关。
• 该结果为依赖随机排列乘积的弱收敛提供了非平凡例子，尽管个体排列彼此独立。
• 极限测度 $ \rho(x, y) $ 除非 $ \beta = \gamma = 0 $，否则不是乘积测度，表明极限中存在非平凡依赖性。