[论文解读] The linear Tur\'an number of the k-fan

Zoltán Füredi, András Gyárfás|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

graph theory and CDMA systems参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文确定了 $k$-扇超图的精确线性图兰数，证明在 $n$ 个顶点上不含 $k$-扇子超图的 $k$-均匀线性超图中，边的最大数量为 $n^2/k^2$，当且仅当 $n \equiv 0 \pmod{k}$ 且超图是具有 $k$ 个组的横截设计时达到该值。此外，本文对 $k=3$ 的极值结构进行了刻画，并将结果扩展至禁止配置如 $P$ 和 $C_{14}$，表明当排除这些配置时，线性图兰数在某些 $n$ 下仍保持为 $n^2/9$。

ABSTRACT

A hypergraph is linear if any two edges intersect in at most one vertex. For a fixed $k$-uniform family ${\\cal{F}}$ of hypergraphs, the linear Tur\\'an number ${\ m ex}_{\ m lin}(n,{\\cal{F}})$ is the maximum number of edges in a $k$-uniform linear hypergraph $\\mathcal H$ on $n$ vertices that does not contain any member of ${\\cal{F}}$ as a subhypergraph. For $k\\ge 2$ the $k$-fan $F^k$ is the $k$-uniform linear hypergraph having $k$ edges $f_1,\\dots,f_k$ pairwise intersecting in the same vertex $v$ and an additional edge $g$ intersecting all $f_i$ in a vertex different from $v$. We prove the following extension of Mantel's theorem $${\ m ex}_{\ m lin}(n,F^k)\\le {n^2 / k^2}.$$ Moreover, $|{\\mathcal H}|=n^2/k^2$ holds if and only if $n\\equiv 0\\pmod k$ and $\\mathcal H$ is a transversal design on $n$ points with $k$ groups. We also study ${\ m ex}_{\ m lin}(n,{\\cal{F}})$ where $\\cal{F}$ is any subset of the three linear triple systems with four triples on at most seven points.

研究动机与目标

• 确定 $k$-扇超图的精确线性图兰数 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^k)$，其中 $k$-扇超图是 $k$ 个共享一个公共顶点的边，以及一个与前 $k$ 条边在不同顶点相交的额外边构成的 $k$-均匀线性超图。
• 刻画达到该上界的极值超图，证明当 $n \equiv 0 \pmod{k}$ 时，其恰好为具有 $k$ 个等大小组的横截设计。
• 将分析扩展至 $k=3$ 的情形，确定 $n \equiv 2 \pmod{3}$ 时的 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^3)$，并识别出所有极值三元系。
• 研究当多个配置——$F^3$、$P$ 和 $C_{14}$——同时被禁止时的线性图兰数，表明对无穷多个 $n$，极值数仍为 $n^2/9$。

提出的方法

• 使用极值超图理论和边交集的双重计数方法，证明 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^k)$ 的上界为 $n^2/k^2$。
• 利用线性超图的性质和分组划分，证明等号成立当且仅当极值超图是具有 $k$ 个组的横截设计 $T(n,k)$。
• 对于 $n = k(m+1) - 1$，利用从 $T(n+1,k)$ 衍生的截断横截设计，证明 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^k) \leq m^2 + m$。
• 使用图因子分解技术，特别是完全二分图 $K_{2^m,2^m}$ 的 1-因子分解，构造避免 $F^3$、$P$ 和 $C_{14}$ 的极值三元系。
• 应用标准方法：选取包含至少 $2/9$ 条边的三部超图子结构，将线性图兰数与经典图兰数联系起来。
• 利用已知的斯坦纳三元系和相关配置的结果，证明当 $n = 3 \cdot 2^m$ 时，$\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, \{F^3, P, C_{14}\}) = n^2/9$。

实验结果

研究问题

• RQ1 $k$-扇超图的精确线性图兰数 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^k)$ 的值是多少？
• RQ2 在哪些 $n$ 和 $k$ 下，达到 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^k)$ 的极值超图是具有 $k$ 个组的横截设计？
• RQ3 当 $n \equiv 2 \pmod{3}$ 时，$\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^3)$ 的极值超图能否被完全刻画？
• RQ4 当多个小配置——$F^3$、$P$ 和 $C_{14}$——被同时禁止时，线性图兰数是多少？
• RQ5 禁止配置的线性图兰数与 $F(7,4)$ 的经典图兰数之间有何关系？

主要发现

• 对所有 $k \geq 2$ 和所有 $n$，线性图兰数 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^k)$ 的上界为 $n^2/k^2$，且等号成立当且仅当 $n \equiv 0 \pmod{k}$ 且极值超图是具有 $k$ 个组的横截设计。
• 对于 $n = k(m+1) - 1$，线性图兰数 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^k)$ 的上界为 $m^2 + m$，且极值超图为从 $T(n+1,k)$ 截断得到的横截设计。
• 当 $n = 3m + 2$ 时，极值数 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, F^3)$ 恰好为 $m^2 + m$，且唯一的极值三元系为从截断横截设计或特定图扩展中导出的结构。
• 当 $n = 6m + 3$ 时，线性图兰数 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, \{F^3, P\})$ 等于 $n^2/9$，表明禁止 $P$ 并未使极值数低于仅禁止 $F^3$ 的情形。
• 当 $n = 3 \cdot 2^m$ 时，线性图兰数 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, \{F^3, C_{14}\})$ 恰好为 $n^2/9$，由 $K_{2^m,2^m}$ 的 1-因子分解构造的横截设计实现。
• 线性图兰数 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, \{F^3, P, C_{14}\})$ 渐近等价于 $n^2/9$，且该值也与 $\mathrm{ex}_{\mathrm{lin}}(n, \{P, C_{14}\})$ 的最大值相差一个常数因子，从而将其与 $F(7,4)$ 的经典图兰数联系起来。