[论文解读] The local Euler obstruction and topology of the stabilization of associated determinantal varieties

Terence Gaffney, Nivaldo G. Grulha+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 8

一句话总结

本文利用牛顿二项式公式，计算了通用行列式簇的局部欧拉偏移量和陈-施瓦茨-麦科菲森类，并基于局部欧拉偏移量与加夫尼的 $m_d$ 多重性，推导出本质孤立行列式奇点（EIDS）稳定化的欧拉示性数公式。主要贡献在于建立了一个精确的拓扑不变量公式，将奇点不变量与行列式簇的几何不变量联系起来。

ABSTRACT

This work has two complementary parts, in the first part we compute the local Euler obstruction of generic determinantal varieties and apply this result to compute the Chern--Schwartz--MacPherson class of such varieties. In the second part we compute the Euler characteristic of the stabilization of an essentially isolated determinantal singularity (EIDS). The formula is given in terms of the local Euler obstruction and Gaffney's $m_{d}$ multiplicity.

研究动机与目标

• 使用基于牛顿二项式的新公式，计算通用行列式簇的局部欧拉偏移量。
• 将此计算应用于确定此类簇的陈-施瓦茨-麦科菲森类。
• 推导出本质孤立行列式奇点（EIDS）稳定化的欧拉示性数公式。
• 建立奇异簇的局部欧拉偏移量近似其通用行列式模型局部欧拉偏移量的条件。
• 探讨欧拉偏移量的函子性，并通过雅可比模的拉回定义其在模上的形式。

提出的方法

• 利用牛顿二项式系数，推导出通用行列式簇局部欧拉偏移量的闭式表达式。
• 利用所得公式，通过已知的对偶性与局部化技术，计算陈-施瓦茨-麦科菲森类。
• 通过分析稳定化过程及其拓扑不变量，将局部欧拉偏移量公式应用于 EIDS。
• 引入并利用加夫尼的 $m_d$ 多重性作为 EIDS 稳定化欧拉示性数公式中的关键不变量。
• 应用多重性极值定理，将模族中多重性的变化与极值簇及纤维多重性联系起来。
• 将模的欧拉偏移量定义为对应奇点的雅可比模拉回的欧拉偏移量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用组合数据高效计算通用行列式簇的局部欧拉偏移量？
• RQ2 通用行列式簇的陈-施瓦茨-麦科菲森类是什么？它与局部欧拉偏移量有何关系？
• RQ3 本质孤立行列式奇点（EIDS）稳定化的欧拉示性数是什么？
• RQ4 EIDS 的局部欧拉偏移量如何与通用行列式奇点的欧拉偏移量及 $m_d$ 多重性相关联？
• RQ5 在何种条件下，奇异簇的欧拉偏移量与其通用行列式近似值的欧拉偏移量一致？

主要发现

• 通用行列式簇的局部欧拉偏移量由包含牛顿二项式系数的闭式公式给出。
• 通用行列式簇的陈-施瓦茨-麦科菲森类完全由其局部欧拉偏移量通过推导公式确定。
• EIDS 稳定化的欧拉示性数可表示为局部欧拉偏移量与奇点 $m_d$ 多重性的和。
• 对于足够通用的映射，EIDS 稳定化的欧拉示性数仅依赖于通用行列式奇点的局部欧拉偏移量与 $m_d$ 多重性。
• 模的欧拉偏移量定义为对应奇点的雅可比模拉回的欧拉偏移量，其中包含一个修正项以解释偏差。
• 当法丛的纤维较小时，余维数为 $d$ 的极值簇意外地为空，从而简化了多重性的计算。