[论文解读] The Local Joyal Model Structure

Nicholas J. Meadows|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文在布尔范畴上的单纯层上引入了局部 Jardine 模型结构的推广，即局部 Joyal 模型结构，通过将局部 Kan 等价性替换为局部 Joyal 等价性来实现。该研究建立了一个 Quillen 模型结构，其中纤维化为单射，纤维化为逐段拟纤维化，弱等价性为局部 Joyal 等价性，从而使得同伦论工具（如下降理论）能够通过路径范畴分析高维自动机。

ABSTRACT

It is shown that the Joyal quasi-category model structure for simplicial sets extends to a model structure on simplicial presheaves, for which the weak equivalences are local (or stalkwise) Joyal equivalences.

研究动机与目标

• 通过准范畴和路径范畴，为高维自动机发展一个同伦论框架。
• 通过将局部 Kan 等价性替换为局部 Joyal 等价性，推广 Jardine 模型结构。
• 在布尔范畴上的单纯层上建立一个以局部 Joyal 等价性为弱等价性的 Quillen 模型结构。
• 通过下降理论和同伦不变性，实现对并发系统从局部到整体的分析。
• 以逐段性质和 Joyal 的 τ₀ 不变量来刻画纤维化和弱等价性。

提出的方法

• 采用布尔局部化技术，构造单纯层上的局部 Joyal 模型结构。
• 使用路径范畴函子 P: sSet → Cat 作为检测 Joyal 等价性的同伦不变量。
• 将局部 Joyal 等价性定义为对所有准范畴 B 和 X，诱导 τ₀(B, X) 上的双射的映射。
• 利用来自 Joyal 模型结构的生成平凡单射的少量对象论证，对映射进行分解。
• 证明在局部 Joyal 模型结构中，平凡纤维化恰好是逐段平凡纤维化。
• 通过两推一和拉回论证，证明若一个映射既是逐段拟纤维化又是局部 Joyal 等价，则其为逐段平凡纤维化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在布尔范畴上的单纯层上构造出类似于 Jardine 模型结构的局部 Joyal 模型结构，但以 Joyal 等价性替代 Kan 等价性？
• RQ2 局部 Joyal 等价性与单纯集的路径范畴及基本群之间的关系是什么？
• RQ3 局部 Joyal 模型结构中纤维化和弱等价性的精确刻画是什么？
• RQ4 局部 Joyal 模型结构能否支持高维自动机的下降理论？
• RQ5 局部 Joyal 模型结构是否通过层化与标准 Joyal 模型结构 Quillen 等价？

主要发现

• sSh(B) 上的局部 Joyal 模型结构存在，且与 sSet 上的 Joyal 模型结构 Quillen 等价。
• 局部 Joyal 模型结构中的纤维化恰好是单纯层的单射。
• 纤维化被刻画为逐段拟纤维化，即在每个 stalk 上都是拟纤维化的映射。
• 弱等价性为局部 Joyal 等价性，定义为对所有准范畴 X，映射 τ₀(Y, X) → τ₀(X, X) 为双射的 f。
• 若一个映射既是逐段拟纤维化又是局部 Joyal 等价，则其为逐段平凡纤维化，从而验证了模型结构公理。
• 局部 Joyal 模型结构中平凡单射的集合由 Joyal 模型结构中平凡单射生成集的 y(b) × φ 的推广的有限复合的截面生成。