[论文解读] The local Langlands conjecture for the $p$-adic inner form of Sp(4)

Kwangho Choiy|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文通过从广义西格马群 $\mathrm{GSp}_{1,1}$ 限制 $L$-包并借助 $\mathrm{GSp}_{1,1}$ 的局部兰兰兹对应（LLC）以及与对偶群的θ对应，证明了 $p$-进内形式 $\mathrm{Sp}_{1,1}$（即 $\mathrm{Sp}_4$ 的非拟射内部形式）的局部兰兰兹猜想。关键结果建立了 $\mathrm{Sp}_{1,1}$ 的 $L$-包与具有指定中心特征的 $S$-群不可约表示之间的典范双射，从而解决了该非分裂形式的 $L$-包参数化问题。

ABSTRACT

This paper proves the local Langlands conjecture for the non quasi-split inner form Sp(1,1) of Sp(4) over a p-adic field of characteristic 0, by studying the restriction of representations from the non quasi-split inner form GSp(1,1) of GSp(4) to Sp(1,1). The L-packets for Sp(1,1) are constructed based on the earlier work on the local Langlands correspondence for GSp(1,1) by Gan and Tantono. To parameterize them in terms of so-called S-groups, we establish and utilize the local Langlands correspondence for reductive dual groups which participate in the theta correspondence with Sp(1,1) and GSp(1,1). An interesting phenomenon arises when two distinct members in an L-packet of GSp(1,1) are restricted to Sp(1,1).

研究动机与目标

• 建立在特征为 0 的 $p$-进域上，$\mathrm{Sp}_4$ 的非拟射内形式 $\mathrm{Sp}_{1,1}$ 的局部兰兰兹对应（LLC）。
• 通过利用甘与坦托诺的前期工作，基于 $\mathrm{GSp}_{1,1}$ 的 $L$-包限制，构造 $\mathrm{Sp}_{1,1}$ 的 $L$-包。
• 通过 $S$-群构造结合科特维茨同构与中心特征数据，对 $\mathrm{Sp}_{1,1}$ 的 $L$-包进行参数化。
• 通过分析 $\mathrm{GSp}_{1,1}$ 的不同 $L$-包在限制到 $\mathrm{Sp}_{1,1}$ 时的行为，完全确定 $\mathrm{Sp}_{1,1}$ 的 $L$-包结构。

提出的方法

• 利用不同 $L$-包在 $\mathrm{GSp}_{1,1}$ 中的差异性，通过限制到 $\mathrm{Sp}_{1,1}$，确保其像互不相同。
• 利用与 $\mathrm{Sp}_{1,1}$ 和 $\mathrm{GSp}_{1,1}$ 参与θ对应的对偶群 $\mathrm{SO}_{2,2}$ 和 $\mathrm{SO}_{3,3}$ 的局部兰兰兹对应。
• 建立 $S$-群 $\mathcal{S}_{\varphi,\mathrm{sc}}(\widehat{\mathrm{Sp}_{1,1}})$ 与 $\mathcal{S}_{\varphi,\mathrm{sc}}(\widehat{\mathrm{SO}^{*}_{1,1}})$ 之间的典范同构，从而实现表示数据的转移。
• 应用科特维茨同构，将中心特征 $\zeta_G$ 与对偶群的 $F$-内形式（特别是 $\mathrm{SO}_{2,2}$ 和 $\mathrm{SO}_{4,0}$）联系起来。
• 利用雅克布-兰格兰兹对应，通过 $\mathrm{GSp}_{1,1}$-数据将 $\mathrm{SO}_{2,2}$ 和 $\mathrm{SO}_{4,0}$ 的表示与 $\mathrm{Sp}_{1,1}$ 的表示关联。
• 通过分析 $S$-群结构及其不可约表示的分类，完成主定理的证明，证明 $\Pi_\varphi(\mathrm{Sp}_{1,1}) \cong \mathrm{Irr}(\mathcal{S}_{\varphi,\mathrm{sc}}(\widehat{\mathrm{Sp}_{1,1}}), \zeta_G)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将局部兰兰兹对应扩展至 $\mathrm{Sp}_4$ 的非拟射内形式（如 $\mathrm{Sp}_{1,1}$）？
• RQ2 当 $\mathrm{GSp}_{1,1}$ 的 $L$-包限制到 $\mathrm{Sp}_{1,1}$ 时会发生什么？这对 $\mathrm{Sp}_{1,1}$ 的 $L$-包结构有何影响？
• RQ3 如何将 $S$-群对 $L$-包的参数化方法推广至非拟射群，特别是当 $S$-群为非交换群时？
• RQ4 与对偶群 $\mathrm{SO}_{2,2}$ 和 $\mathrm{SO}_{3,3}$ 的θ对应在构造 $\mathrm{Sp}_{1,1}$ 的 $L$-包中起到何种作用？
• RQ5 $S$-群构造中的中心特征 $\zeta_G$ 与对偶群的 $F$-内形式之间有何关系？

主要发现

• 在特征为 0 的 $p$-进域上，$\mathrm{Sp}_4$ 的非拟射内形式 $\mathrm{Sp}_{1,1}$ 的局部兰兰兹对应已完全确立。
• $\mathrm{Sp}_{1,1}$ 的 $L$-包通过从 $\mathrm{GSp}_{1,1}$ 限制 $L$-包构造而成，且 $\mathrm{GSp}_{1,1}$ 中不同的 $L$-包在限制后仍保持互异。
• $S$-群 $\mathcal{S}_{\varphi,\mathrm{sc}}(\widehat{\mathrm{Sp}_{1,1}})$ 同构于 $\mathcal{S}_{\varphi,\mathrm{sc}}(\widehat{\mathrm{SO}^{*}_{1,1}})$，从而实现从对偶群传递表示数据。
• $L$-包 $\Pi_\varphi(\mathrm{Sp}_{1,1})$ 与 $\mathrm{Irr}(\mathcal{S}_{\varphi,\mathrm{sc}}(\widehat{\mathrm{Sp}_{1,1}}), \zeta_G)$ 之间存在典范双射，其中 $\zeta_G$ 由科特维茨同构确定，并对应于 $\mathrm{SO}_{2,2}$ 或 $\mathrm{SO}_{4,0}$。
• 证明依赖于θ对应与雅克布-兰格兰兹对应，将 $\mathrm{SO}_{2,2}$ 和 $\mathrm{SO}_{4,0}$ 的表示与 $\mathrm{Sp}_{1,1}$ 的表示关联，且通过 $\mathrm{GSp}_{1,1}$-数据建立了显式的双射。
• $\mathrm{Sp}_{1,1}$ 的 $L$-包结构已完全描述，其中 $S$-群在所有情况下均为初等 2-群，且参数化与 $\gamma$-因子和 $L$-因子相容。