[论文解读] The local Langlands correspondence for GL(n) over p-adic fields

Torsten Wedhorn|ArXiv.org|Nov 24, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 37被引用 8

一句话总结

本文對 p-進域上 GL(n) 的局部 Langlands 对应关系提供了全面的介紹，詳細闡述了 GL(n,K) 的可容許表示與 n 維弗羅貝尼乌斯半單 Weil-Deligne 表示之間的雙射關係。它通過特殊 p-可除 O-模的形變空間上的消失上同調構造了該對應關係，最終利用 Harris-Taylor 與 Henniart 的幾何方法證明了該對應關係。

ABSTRACT

This work is intended as an introduction to the statement and the construction of the local Langlands correspondence for GL(n) over p-adic fields. The emphasis lies on the statement and the explanation of the correspondence.

研究动机与目标

• 提供 p-進局部域上 GL(n) 局部 Langlands 對應關係的詳細闡述。
• 釐清 GL(n,K) 的可容許表示與 Weil-Deligne 表示之間的對應關係。
• 解釋利用 p-可除 O-模與消失上同調實現對應關係的幾何構造。
• 透過形變理論與剛性上同調，確保 L-函數與 ϵ-因子的相容性。
• 為進入 p-進域上自守形式與 Langlands 程式領域的研究者提供基礎參考。

提出的方法

• 本文透過與 p-可除 O-模模空間相關的形式概形的上同調構造對應關係。
• 利用特殊 p-可除 O-模的全域形變上的消失上同調來定義伽羅瓦表示。
• 該方法依賴於 Berkovich 的比較定理，將概形的剛性上同調與形式概形上的消失上同調聯繫起來。
• 構造涉及 GL_h(O_K) × O^×_{D_{1/h}} × I_K 對上同調群 Ψ^i_m 與 Ψ^i 的作用。
• 利用 D×_{1/h} 的不可約可容許表示，透過 Hom-空間構造定義子空間 Ψ^i(ρ)。
• 透過在 GL(n) 側與伽羅瓦側均定義的 ϵ-因子，確保 L-與 ϵ-因子的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何幾何地表述與構造 p-進域上 GL(n) 的局部 Langlands 對應關係？
• RQ2 p-可除 O-模及其形變在實現對應關係中扮演何種角色？
• RQ3 形式概形上的消失上同調如何提供與 L-函數相容的伽羅瓦表示？
• RQ4 上同調群 Ψ^i_m 與 Ψ^i 如何攜帶 GL_h(O_K)、O^×_{D_{1/h}} 與扭結群 I_K 的相容作用？
• RQ5 GL(n)-側與伽羅瓦側之間的 L-與 ϵ-因子相容性如何建立？

主要发现

• p-進域上 GL(n) 的局部 Langlands 對應關係被實現為不可約可容許 GL(n,K)-表示的同構類與 n 維弗羅貝尼烏斯半單 Weil-Deligne 表示之間的雙射。
• 上同調群 Ψ^i_m 與 Ψ^i 是有限維的 C-向量空間，分別具有 I_K、GL_h(O_K) 與 O^×_{D_{1/h}} 的連續、可容許且光滑作用。
• 特殊 p-可除 O-模的全域形變上的消失上同調產生了所需的伽羅瓦表示，且對所有 i > h−1 有 Ψ^i = 0。
• 透過 Harris-Taylor 的 Shimura 穩定器構造的幾何實現確保了與全局 Langlands 函子性的相容性。
• 透過上同調框架中使用的 ϵ-因子，對應關係在 GL(n) 側與伽羅瓦側均與 L-與 ε-因子相容。
• A_K = { (γ,δ,σ) ∈ GL_h(K) × D×_{1/h} × W_K | v_K(det γ) = v_K(Nrd δ) + v_K(Art_K^{-1}(σ)) } 對 Ψ^i 的作用是良定義的，並保持上同調模的結構。