[论文解读] The Lyapunov dimension and its computation for self-excited and hidden attractors in the Glukhovsky-Dolzhansky fluid convection model

Н. В. Кузнецов, Г. А. Леонов+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2015

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 34被引用 5

一句话总结

本论文对Glukhovsky-Dolzhansky流体对流模型中的自激和隐藏混沌吸引子的李雅普诺夫维数进行了严格的分析与数值研究。采用无需统计物理假设的Kaplan-Yorke公式，推导出全局吸引子的精确李雅普诺夫维数公式，并提供了数值估计的教程，分别得到自激吸引子和隐藏吸引子的上界为2.9827和2.9830。

ABSTRACT

Consideration of various hydrodynamic phenomena involves the study of the Navier-Stokes (N-S) equations, what is hard enough for analytical and numerical investigations since already in three-dimensional (3D) case it is a challenging task to study the limit behavior of N-S solutions. The low-order models (LOMs) derived from the initial N-S equations by Galerkin method allow one to overcome difficulties in studying the limit behavior and existence of attractors. Among the simple LOMs with chaotic attractors there are famous Lorenz system, which is an approximate model of two-dimensional convective flow and Glukhovsky-Dolzhansky model, which describes a convective process in three-dimensional rotating fluid and can be considered as an approximate model of the World Ocean. One of the widely used dimensional characteristics of attractors is the Lyapunov dimension. In the study we follow a rigorous approach for the definition of the Lyapunov dimension and justification of its computation by the Kaplan-Yorke formula, without using statistical physics assumptions. The exact Lyapunov dimension formula for the global attractors is obtained and peculiarities of the Lyapunov dimension estimation for self-excited and hidden attractors are discussed. A tutorial on numerical estimation of the Lyapunov dimension on the example of the Glukhovsky-Dolzhansky model is presented.

研究动机与目标

• 建立一种无需依赖统计物理假设的、用于计算Glukhovsky-Dolzhansky模型中吸引子李雅普诺夫维数的严格分析框架。
• 推导适用于该模型中全局吸引子的精确李雅普诺夫维数公式。
• 研究由于吸引子基域结构不同，自激与隐藏吸引子在李雅普诺夫维数估计上的差异。
• 提供一种实用教程，利用有限时间李雅普诺夫指数与基于SVD的算法，实现李雅普诺夫维数的数值估计。
• 通过基于网格的计算与轨迹模拟验证数值方法，确保对豪斯多夫维数的稳健上界。

提出的方法

• 基于Kaplan-Yorke公式，采用严格定义的李雅普诺夫维数，避免使用统计物理假设。
• 通过变量替换，将原始的Glukhovsky-Dolzhansky系统转化为广义Lorenz型系统，以利于分析。
• 采用基于SVD分解的李雅普诺夫特征指数计算方法，确保有限时间李雅普诺夫指数估计的数值精度。
• 在吸引子上使用初始条件的网格计算最大有限时间李雅普诺夫维数，确保在不同轨迹上的鲁棒性。
• 通过取有限时间李雅普诺夫指数在一组初始点上应用Kaplan-Yorke公式所得的上确界，来估计李雅普诺夫维数。
• 通过特定参数值（σ=4, A=0.0052, b=1）的数值实验，比较自激与隐藏吸引子的上界，验证结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖统计物理假设的前提下，严格计算Glukhovsky-Dolzhansky模型中全局吸引子的李雅普诺夫维数？
• RQ2 由于基域结构不同，自激与隐藏吸引子在李雅普诺夫维数估计上存在哪些关键差异？
• RQ3 有限时间李雅普诺夫维数在多大程度上能为混沌吸引子的豪斯多夫维数提供可靠上界？
• RQ4 Kaplan-Yorke公式在数值模拟中如何被有效应用于复杂吸引子的李雅普诺夫维数估计？
• RQ5 在存在瞬态动力学与非均匀收敛性的情况下，哪些数值策略能确保李雅普诺夫维数计算的准确与可重复？

主要发现

• 推导出Glukhovsky-Dolzhansky模型中全局吸引子的精确李雅普诺夫维数公式，其在严格的数学条件下成立。
• 对于r=687.5的自激吸引子，李雅普诺夫维数上界估计为2.982747...，为豪斯多夫维数提供了紧密估计。
• 对于r=700的隐藏吸引子，李雅普诺夫维数上界为2.983037...，略高于自激情况，这是由于其不同的动力学行为所致。
• 数值实验表明，有限时间李雅普诺夫维数在初始点网格上的最大值，可为吸引子维数提供可靠的上界。
• 基于SVD的算法用于有限时间李雅普诺夫指数计算，确保了数值稳定性与精度，尤其在存在瞬态动力学时表现优异。
• 本研究表明，尽管李雅普诺夫维数并非真正的几何维数，但其作为分形吸引子豪斯多夫维数的稳健且可计算的上界具有重要意义。