[论文解读] The Maslov and Morse indices for Schrödinger operators on $\mathbb{R}$

Peter Howard, Yuri Latushkin+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文建立了实直线上的Schrödinger算子在对称势趋于常数边界态时，Maslov指标与Morse指标之间的精确关系。在适当的渐近条件下，证明了Morse指标（负特征值个数）等于Maslov指标的相反数，从而可通过几何拓扑方法实现谱计数的数值计算。

ABSTRACT

Assuming a symmetric potential that approaches constant endstates with a sufficient asymptotic rate, we relate the Maslov and Morse indices for Schrödinger operators on $\mathbb{R}$. In particular, we show that with our choice of convention, the Morse index is precisely the negative of the Maslov index.

研究动机与目标

• 建立实直线上Schrödinger算子的Maslov指标与Morse指标之间的严格联系。
• 以几何且计算上可处理的方式解决负特征值（Morse指标）计数的挑战。
• 证明Morse指标可通过Maslov指标计算，利用辛几何与拉格朗日子空间理论。
• 提供一种利用Maslov指标进行谱计数的数值计算框架，该方法比直接特征值计数更易于算法实现。

提出的方法

• 利用矩阵J的辛结构在R^{2n}中定义拉格朗日子空间，并使用框架表示这些子空间。
• 构造两族拉格朗日子空间：一簇来自x → -∞处的衰减解，另一簇来自x → +∞处的衰减解，参数λ < ν_min。
• 使用Maslov指标计算两条拉格朗日路径相交的次数（含重数与方向），以追踪谱的变化。
• 建立拉格朗日路径ε^-(x;λ)在特征值处的连续性与不连续性，表明特征值对应于交叉点。
• 通过+∞处势的特征向量与特征值的比值定义类似绕数的量ω^+(λ)，用以追踪Maslov指标。
• 在给定的V(x)渐近条件下，证明Morse指标等于Maslov指标的相反数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于趋于常数边界态的对称势，实直线上Schrödinger算子的Maslov指标与Morse指标之间有何关系？
• RQ2 能否通过Maslov指标（一个拓扑不变量）来计算Morse指标（即负特征值个数）？
• RQ3 势V(x)的渐近衰减率在保证Maslov-Morse指标关系有效性方面起什么作用？
• RQ4 拉格朗日路径在特征值处的不连续性如何与算子的谱性质相关？
• RQ5 在何种条件下Maslov指标可被数值计算且等价于Morse指标？

主要发现

• 在给定的V(x)渐近条件下，Schrödinger算子H的Morse指标等于Maslov指标的相反数。
• Maslov指标是良定义且可计算的，可通过+∞处衰减解框架的绕数确定，其跟踪与参考拉格朗日子空间的交叉。
• 拉格朗日路径ε^-(x;λ)在特征值处不连续，且该不连续性导致Maslov指标发生±1的跳跃。
• 对于λ < ν_min，存在恰好n个线性无关的解在x → -∞时衰减，且n个在x → +∞时衰减，确保拉格朗日框架的存在。
• Maslov指标除在特征值处外连续，且在这些点处跳跃±1，总跳跃次数等于Morse指标。
• 在假设(A1)与(A2)下，关系Morse指标 = -Maslov指标成立，包括V(x) - V_±的充分衰减性以及V_±的非负特征值。