[论文解读] The Matsumoto and Yor process and infinite dimensional hyperbolic space

Philippe Bougerol|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2014

Random Matrices and Applications参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文证明，Matsumoto–Yor 过程定义为 $\eta_t = \int_0^t e^{2B_s - B_t}\,ds$（其中 $B_t$ 为布朗运动），在 $q \to \infty$ 的极限下，是双曲空间 $\mathbb{H}_q$ 上布朗运动在谱的底部的径向部分。本文进一步将该结果推广至无限维对称空间 $SU(p,q)$、$SO(p,q)$ 和 $Sp(p,q)$，并表明其收敛于正则树 $\mathbb{T}_q$ 上的离散 Pitman 型过程，从而为 Matsumoto–Yor 过程的马尔可夫性提供了几何解释。

ABSTRACT

The Matsumoto\,--Yor process is $\int\_0^t \exp(2B\_s-B\_t)\, ds$, where $(B\_t)$ is a Brownian motion. It is shown that it is the limit of the radial part of the Brownian motion at the bottom of the spectrum on the hyperbolic space of dimension $q$, when $q$ tends to infinity. Analogous processes on infinite series of non compact symmetric spaces and on regular trees are described.

研究动机与目标

• 为 Matsumoto–Yor 过程提供几何解释，即其为双曲空间 $\mathbb{H}_q$ 上布朗运动在 $q \to \infty$ 极限下的径向部分。
• 将该结果推广至高秩对称空间 $SU(p,q)$、$SO(p,q)$ 和 $Sp(p,q)$，在 $q \to \infty$ 且 $p$ 固定的极限下。
• 通过球函数的渐近分析，推导出 $SU(p,q)$ 上极限过程的生成元。
• 通过证明正则树 $\mathbb{T}_q$ 上简单随机游走的径向部分在 $q \to \infty$ 时收敛于离散 Pitman 过程，建立其离散类比。

提出的方法

• 利用双曲空间 $\mathbb{H}_q$ 的双曲面模型和上半平面模型，以极坐标表达布朗运动的径向部分。
• 应用 Cartan 分解与 Iwasawa 分解，分析对称空间 $G/K$ 上的布朗运动并提取径向分量。
• 通过 Harish-Chandra 展开和 $c$-函数，对球函数 $\varphi_\lambda$ 进行渐近分析，以研究 $q \to \infty$ 的极限。
• 通过分析拉普拉斯–贝尔特拉米算子径向部分的渐近行为，推导出 $SU(p,q)$ 上极限过程的生成元。
• 利用 Inozemtsev 极限，将径向过程与量子 Toda 哈密顿量 $H_T = \frac{d^2}{dr^2} - e^{-2r}$ 联系起来。
• 应用 Montel 定理与 $\lambda g_q(\lambda,r)$ 的一致收敛性，证明当 $q \to \infty$ 时 $g_q(\lambda,r) \to 0$，从而确保收敛于 Macdonald 函数 $K_\lambda(e^{-r})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 Matsumoto–Yor 过程是否在 $q \to \infty$ 的极限下，作为双曲空间 $\mathbb{H}_q$ 上布朗运动的径向部分出现？
• RQ2 当 $q \to \infty$ 且 $p$ 固定时，$SU(p,q)$ 上极限径向过程的生成元是什么？
• RQ3 在相同极限下，$SO(p,q)$ 和 $Sp(p,q)$ 上布朗运动的径向部分行为如何？
• RQ4 能否在正则树 $\mathbb{T}_q$ 上构造 Matsumoto–Yor 过程的离散类比？其在 $q \to \infty$ 时是否收敛？
• RQ5 球函数与 $c$-函数在对称空间上径向过程的渐近分析中起什么作用？

主要发现

• Matsumoto–Yor 过程 $\eta_t = \int_0^t e^{2B_s - B_t}\,ds$ 是双曲空间 $\mathbb{H}_q$ 上布朗运动径向部分在 $q \to \infty$ 时的极限，为其马尔可夫性提供了几何起源。
• 对 $\log \eta_t$ 的生成元为 $\frac{1}{2}\frac{d^2}{dr^2} + \left(\frac{d}{dr}\log K_0(e^{-r})\right)\frac{d}{dr}$，其中 $K_0$ 为 Macdonald 函数。
• 对于 $SU(p,q)$，极限径向过程的生成元由球函数的渐近行为导出，在 $q \to \infty$ 时收敛于量子 Toda 哈密顿量 $H_T = \frac{d^2}{dr^2} - e^{-2r}$。
• 正则树 $\mathbb{T}_q$ 上简单随机游走的径向部分在分布上收敛于离散 Pitman 过程 $2\max_{0\leq k\leq n}\Sigma_k - \Sigma_n$，其中 $\Sigma_n$ 为 $\mathbb{Z}$ 上的简单随机游走。
• 差值 $g_q(\lambda,r) = a(q)(\delta_q^{1/2}\tilde{\varphi}_\lambda)(\log m_\alpha + r) - K_\lambda(e^{-r})$ 在 $q \to \infty$ 时关于 $\lambda$ 和 $r$ 一致收敛于 0，且所有 $\lambda g_q(\lambda,r)$ 的导数在极限下趋于零。
• 在秩一情形下，球函数 $\varphi_\lambda$ 的渐近展开满足 $\lim_{q\to\infty} \frac{1}{m_\alpha^\lambda} \Psi_{CMS}(\lambda,q,r + \log m_\alpha) = \Psi_T(\lambda,r)$，将 $CMS$ 哈密顿量与 Toda 哈密顿量联系起来。