[论文解读] The max-plus algebra approach in modelling of queueing networks

Nikolai Krivulin|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2012

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文提出一种最大-加法代数框架，用于建模具有单服务器分流-汇合节点和无限缓存区的排队网络，实现对离开时间的统一线性动态状态方程。关键贡献在于使用最大-加法代数的矩阵表示方法，通过从服务时间导出的状态转移矩阵捕捉网络动态，适用于串行系统和通过等价分流-汇合模型实现的轮转排队网络。

ABSTRACT

A class of queueing networks which consist of single-server fork-join nodes with infinite buffers is examined to derive a representation of the network dynamics in terms of max-plus algebra. For the networks, we present a common dynamic state equation which relates the departure epochs of customers from the network nodes in an explicit vector form determined by a state transition matrix. We show how the matrix may be calculated from the service time of customers in the general case, and give examples of matrices inherent in particular networks.

研究动机与目标

• 开发一个统一的代数框架，用于建模具有分流-汇合操作和无限缓存区的复杂排队网络。
• 使用最大-加法代数将此类网络的动力学以线性形式表示，以支持分析和基于仿真的分析。
• 将最大-加法方法扩展至开放和闭合网络，包括具有常规轮转排队的网络。
• 证明串行系统和轮转网络可作为分流-汇合网络的特例，在同一代数结构中进行建模。
• 从服务时间数据中推导出最大-加法代数中状态转移矩阵的显式表达式。

提出的方法

• 使用运算 ⊕（取最大值）和 ⊗（加法）形式化最大-加法代数，其中 ε = -∞ 为零元，0 为单位元。
• 定义离开时间的向量状态，并通过线性方程 d(k) = T(k) ⊗ d(k-1) 表示网络动力学，其中 T(k) 为状态转移矩阵。
• 通过最大-加法代数中的矩阵运算，从服务时间 τ_ik 和路由规则构造状态转移矩阵 T(k)。
• 通过引入辅助节点以建模循环客户分配，将具有轮转排队的系统转换为等价的分流-汇合网络。
• 应用最大-加法代数中矩阵幂和路径长度的定理，推导出 T(k) 的闭式表达式，特别是利用 (E ⊕ X)^q = E ⊕ X ⊕ ... ⊕ X^q。
• 通过矩阵的图论解释分析可达性和路径长度，确保矩阵幂展开的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 最大-加法代数能否为具有分流-汇合操作的排队网络动力学提供统一且紧凑的表示？
• RQ2 在最大-加法代数中，如何系统地从服务时间和路由规则推导出状态转移矩阵？
• RQ3 具有常规轮转排队的系统能否在与分流-汇合网络相同的框架内进行建模？
• RQ4 对于具有无限缓存区单服务器节点和分流-汇合语义的网络，其动态状态方程的形式是什么？
• RQ5 最大-加法代数中的矩阵幂和幂等性如何促进状态转移矩阵的推导？

主要发现

• 具有单服务器分流-汇合节点和无限缓存区的排队网络动力学可表示为线性最大-加法方程 d(k) = T(k) ⊗ d(k-1)，其中 d(k) 为离开时间的向量。
• 状态转移矩阵 T(k) 由服务时间 τ_ik 和路由结构构造，其显式形式已为串行系统和轮转网络推导得出。
• 对于具有轮转排队的系统，等价的分流-汇合模型使得 T(k) 可表示为 (E ⊕ T_k ⊗ G_0^T)^l ⊗ T_k ⊗ (E ⊕ G_1^T)，并利用了矩阵的幂等性。
• 在 l=3 的轮转排队情况下，状态转移矩阵 T(k) 被显式计算，展示了延迟如何通过循环路径累积。
• 与初始状态相关的矩阵 G_0 为无环图，其最长路径长度为 p=l，使得可应用定理2推导出 T(k) 的最终形式。
• 该框架成功统一了串行系统（作为平凡的分流-汇合网络）和轮转系统建模，通过等价网络变换实现。