[论文解读] The Maximal Positively Invariant Set: Polynomial Setting

Saša V. Raković, Mario E. Villanueva|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2017

Advanced Control Systems Optimization参考文献 11被引用 4

一句话总结

该论文在较温和的条件下证明了多项式离散时间动力系统在基本半代数约束下的最大正不变集（MPOS）本身也是一个基本半代数集。论文提出了一种基于多项式优化迭代计算前像的有限时间收敛算法，利用了基本半代数集在前像运算下的封闭性以及平方和（SOS）技术进行计算。

ABSTRACT

This note considers the maximal positively invariant set for polynomial discrete time dynamics subject to constraints specified by a basic semialgebraic set. The note utilizes a relatively direct, but apparently overlooked, fact stating that the related preimage map preserves basic semialgebraic structure. In fact, this property propagates to underlying set--dynamics induced by the associated restricted preimage map in general and to its maximal trajectory in particular. The finite time convergence of the corresponding maximal trajectory to the maximal positively invariant set is verified under reasonably mild conditions. The analysis is complemented with a discussion of computational aspects and a prototype implementation based on existing toolboxes for polynomial optimization.

研究动机与目标

• 确定具有基本半代数约束的多项式动力系统的最大正不变集（MPOS）是否本身为基本半代数集。
• 在较温和的正则性条件下，建立基于前像的轨迹向MPOS有限时间收敛的理论。
• 开发一种利用现有多项式优化工具计算MPOS的计算上可行的算法。
• 通过原型实现与包含多个约束集的数值示例，展示该方法的有效性。

提出的方法

• 利用基本半代数集在多项式前像和交运算下封闭的性质，通过迭代保持结构不变。
• 通过原系统受限前像映射定义集合动力学，生成集合序列 X₀, X₁, X₂, ..., X_k。
• 应用数学归纳法证明每个 X_k 均为基本半代数集，从而确保极限（即MPOS）继承该结构。
• 采用平方和（SOS）松弛法，并通过 SOSTOOLS 和 GloptiPoly 求解半定规划子问题以实现多项式优化。
• 在每次迭代中可选地使用多项式优化检测并去除冗余约束，以实现剪枝。
• 通过迭代计算前像：X_{k+1} = f^{-1}(X_k) ∩ X₀，在紧致性和正则性条件下实现有限时间内收敛至MPOS。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有基本半代数约束的多项式动力系统的最大正不变集本身为基本半代数集？
• RQ2 MPOS是否可通过有限次前像运算与多项式优化计算得到？
• RQ3 在较温和假设下，基于前像的迭代轨迹是否在有限时间内收敛至MPOS？
• RQ4 如何通过约束冗余检测与去除提升计算效率？
• RQ5 平方和证书在验证不动点的局部稳定性和可行性方面起到何种作用？

主要发现

• 在较温和的正则性与紧致性条件下，证明了具有基本半代数约束的多项式动力系统的最大正不变集（MPOS）本身为基本半代数集。
• 基于前像的迭代轨迹在有限时间内收敛至MPOS，收敛性通过归纳法与结构封闭性得到验证。
• 在数值示例中，所有测试的基于范数的约束集（1-范数、2-范数、∞-范数球）均在三轮迭代内完成收敛。
• MPOS被显式计算为定义最终集合的多项式向量，原型实现使用了 SOSTOOLS 和 GloptiPoly。
• 通过每轮求解 ℓ 个多项式优化问题，可实现约束冗余的可行去除，尽管在非凸情况下收益可能有所不同。
• 该方法通过结构与计算保障，实现了对自主系统与信息物理系统的安全集计算，确保长期满足约束条件。