[论文解读] The mean field Schrödinger problem: ergodic behavior, entropy estimates and functional inequalities

Julio Backhoff‐Veraguas, Giovani Conforti+2 more|University of Twente Research Information|May 7, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文引入并分析了平均场薛定谔问题（MFSP），这是一种基于大偏差理论的框架，用于建模在给定初始和最终配置条件下，相互作用的布朗运动粒子最可能的演化过程。通过将问题表述为一个麦凯恩-弗拉索夫控制系统，并将其与前向-后向随机微分方程（FBSDEs）联系起来，作者建立了指数收敛至平衡态的结果，推导出涉及平均场熵成本的新颖函数不等式，并揭示了与奥托在概率测度空间上的黎曼微分几何之间的深刻联系。

ABSTRACT

We study the mean field Schrödinger problem (MFSP), that is the problem of finding the most likely evolution of a cloud of interacting Brownian particles conditionally on the observation of their initial and final configuration. Its rigorous formulation is in terms of an optimization problem with marginal constraints whose objective function is the large deviation rate function associated with a system of weakly dependent Brownian particles. We undertake a fine study of the dynamics of its solutions, including quantitative energy dissipation estimates yielding the exponential convergence to equilibrium as the the time between observations grows larger and larger, as well as a novel class of functional inequalities involving the mean field entropic cost (i.e. the optimal value in (MFSP)). Our strategy unveils an interesting connection between forward backward stochastic differential equations and the Riemannian calculus on the space of probability measures introduced by Otto, which is of independent interest.

研究动机与目标

• 将平均场薛定谔问题（MFSP）形式化为在边缘约束下的大偏差最小化问题。
• 在弱相互作用粒子系统背景下，建立平均场薛定谔桥（MFSBs）的存在性与遍历性质。
• 推导出定量的能量耗散估计，并证明当时间范围增大时，系统实现指数收敛至平衡态。
• 引入并证明一类涉及平均场熵成本的新函数不等式，推广了最优传输与信息论中的经典结果。
• 揭示前向-后向随机微分方程与概率测度空间上奥托黎曼微分几何之间的新联系。

提出的方法

• 将MFSP表述为弱相互作用布朗运动粒子的大偏差率最小化问题，其漂移相互作用由成对势能W控制。
• 建立MFSP与麦凯恩-弗拉索夫控制问题之间的等价性，其中控制变量为粒子系统的漂移。
• 推导出刻画MFSB最优动力学的前向-后向随机微分方程（FBSDE）系统。
• 应用奥托在概率测度空间上的黎曼微分几何，以几何方式解释动力学行为。
• 利用时间反演与类似吉拉桑诺变换的方法，推导相对熵估计并控制动力学中的校正项。
• 采用微分不等式与李雅普诺夫型论证方法，证明指数收敛至平衡态，并推导熵成本的函数不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当时间范围T增大时，平均场薛定谔问题的动力行为如何，特别是其收敛至平衡态的特性是怎样的？
• RQ2 哪些函数不等式控制平均场熵成本？它们如何推广最优传输与信息论中的经典不等式？
• RQ3 MFSP解的动力学与前向-后向随机微分方程（FBSDEs）之间存在何种精确联系？
• RQ4 如何利用概率测度空间上的奥托黎曼微分几何来理解MFSP解的几何结构？
• RQ5 MFSP中的定量能量耗散与收敛速率是多少？它们如何依赖于相互作用势能W？

主要发现

• MFSP的解，即平均场薛定谔桥（MFSB），在时间范围T增大时表现出指数收敛至平衡态，其收敛速率取决于相互作用势能W。
• 本文建立了一类涉及平均场熵成本的新函数不等式，推广了经典的HWI与对数索波列夫不等式。
• 为吉拉桑诺变换中的校正项导出了一个定量上界，这对证明相对熵估计与收敛性至关重要。
• MFSB的动力学由一个前向-后向随机微分方程（FBSDE）系统刻画，将最优漂移与薛定谔势能联系起来。
• 作者证明，在适当的漂移正则性条件下，相对熵H(P|Γ(P))有限当且仅当H(P|Rµin)有限。
• 揭示了MFSP与P2(Rd)上奥托黎曼微分几何之间新的联系，为最优路径测度提供了几何解释。