[论文解读] The Merton Problem with a Drawdown Constraint on Consumption

Thankom Arun|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用 7

一句话总结

本文通过在消费上引入回撤约束，扩展了经典的Merton问题，确保消费永远不会低于其历史最高水平的固定比例。利用随机最优控制与对偶方法，作者在CRRA效用下推导出最优消费与投资策略的显式解，基于财富与最大消费之比识别出四种不同的行为模式，通过严格的验证论证确认了最优性。当风险规避系数较低（R ≤ R∗）时，问题为病态，此时可能存在无穷大的期望效用。

ABSTRACT

In this paper, we work in the framework of the Merton problem but we impose a drawdown constraint on the consumption process. This means that consumption can never fall below a fixed proportion of the running maximum of past consumption. In terms of economic motivation, this constraint represents a type of habit formation where the investor is reluctant to let his standard of living fall too far from the maximum standard achieved to date. We use techniques from stochastic optimal control and duality theory to obtain our candidate value function and optimal controls, which are then verified.

研究动机与目标

• 在连续时间框架下建模并求解带有消费回撤约束的最优消费与投资组合选择问题，即消费不能低于其运行最大值的固定比例。
• 通过建模投资者不愿将消费降至过去峰值水平以下的行为，将习惯形成机制纳入Merton框架。
• 通过引入非马尔可夫约束（由于引入了运行最大值）扩展经典Merton问题，并利用对偶法与验证技术推导出显式解。
• 识别出问题变得病态的临界阈值R∗，在此之下存在使期望效用无穷大的策略。

提出的方法

• 在标准Black-Scholes市场中建立问题模型，包含无风险资产与由几何布朗运动驱动的风险资产。
• 施加回撤约束：ct ≥ b sup₀≤s≤t cs，其中b ∈ (0,1)，用于建模习惯形成。
• 在CRRA效用下使用对偶公式，将约束问题转化为更易处理的无约束问题，并获得显式解析解。
• 应用随机最优控制与Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）技术，推导候选值函数与最优控制。
• 采用受Dybvig（1995）启发的验证论证，经适配以适用于回撤约束，严格证明候选解的最优性。
• 通过基于财富与消费运行最大值之比将状态空间划分为四个区域，分析最优策略的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Merton框架中引入消费回撤约束（即消费不能低于其历史最高水平的固定比例）后，对最优投资组合与消费策略有何影响？
• RQ2 在该约束下，最优控制策略的结构性特征是什么？与标准Merton解有何不同？
• RQ3 对偶公式能否有效用于求解此类具有路径依赖约束的非马尔可夫最优控制问题？
• RQ4 在相对风险规避系数R的何种条件下，问题为适定？在何种情况下会允许无穷大的期望效用？
• RQ5 临界阈值R∗是什么？它在模型参数下的表征方式如何？

主要发现

• 最优消费与投资策略根据当前财富与过去消费运行最大值之比，被划分为四个不同的行为区域。
• 当财富与最大消费之比较低时，消费受回撤约束限制在最低可允许水平。
• 随着该比值上升，消费与财富成比例增加，体现标准消费规则。
• 在第三区域，消费维持在历史最高水平，投资者等待财富与最大消费之比达到临界阈值，之后消费将提升至新的最大值。
• 当R ≤ R∗时，问题为病态，其中R∗为由模型参数定义的阈值，因为存在使期望效用无穷大的策略。
• 临界阈值R∗被显式表征，并对应于对偶过程长期增长率变为非正的条件，与标准Merton问题中的已知结果一致。