[论文解读] The Minimal Model Program for the Hilbert Scheme of Points on P^2 and Bridgeland Stability

Daniele Arcara, Aaron Bertram+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 16

一句话总结

本文建立了布里吉兰德稳定性条件中的墙穿跃与射影平面上点的希尔伯特概形 $\pi^{2[n]}$ 的极小模型程序（MMP）中翻转之间的精确对应关系。它表明，由MMP产生的 $\pi^{2[n]}$ 的双有理模型是模的：它们参数化作为奎iver表示的GIT商的布里吉兰德半稳定对象，并显式计算了 $n \leq 9$ 时的稳定基 locus 分解与墙。关键贡献是为 $n \leq 9$ 建立了布里吉兰德稳定性墙与莫里锥穿跃之间的完整字典，包括对翻转和除子性收缩的显式描述。

ABSTRACT

In this paper, we study the birational geometry of the Hilbert scheme of n points on P^2. We discuss the stable base locus decomposition of the effective cone and the corresponding birational models. We give modular interpretations to the models in terms of moduli spaces of Bridgeland semi-stable objects. We construct these moduli spaces as moduli spaces of quiver representations using G.I.T. and thus show that they are projective. There is a precise correspondence between wall-crossings in the Bridgeland stability manifold and wall-crossings between Mori cones. For n at most 9, we explicitly determine the walls in both interpretations and describe the corresponding flips and divisorial contractions.

研究动机与目标

• 通过极小模型程序（MMP）理解希尔伯特概形 $\mathbb{P}^{2[n]}$ 的双有理几何。
• 在布里吉兰德稳定性流形中的穿跃与 $\mathbb{P}^{2[n]}$ 的莫里锥中的穿跃之间建立对应关系。
• 将通过MMP获得的 $\mathbb{P}^{2[n]}$ 的双有理模型赋予模解释，即作为布里吉兰德半稳定对象的模空间。
• 将这些模空间构造为奎iver表示的GIT商，证明其为射影概形。
• 显式计算 $n \leq 9$ 时的稳定基 locus 分解与墙，包括翻转与除子性收缩。

提出的方法

• 作者在 $\mathbb{P}^{2[n]}$ 上运行极小模型程序（MMP），证明其为Mori梦想空间，且具有有限的稳定基 locus 分解。
• 他们定义了有效除子 $D_E(n)$，用于参数化在 $\mathbb{P}^2$ 上的斯蒂纳 bundle $E$ 的截面中无法施加独立条件的子概形，这些除子在稳定基 locus 分解中构成墙。
• 他们使用 $D^b(\text{coh} \, \mathbb{P}^2)$ 上的布里吉兰德稳定性条件，将墙识别为 $(s,t)$-平面上的半圆，其中心位于 $x = -\frac{19}{2}, -\frac{17}{2}, \dots, -\frac{9}{2}$（当 $n=9$ 时），对应于如 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-1)$、$\mathcal{I}_p(-1)$ 和 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-3)$ 等不稳定对象。
• 他们将布里吉兰德半稳定对象的模空间构造为奎iver表示的GIT商，证明这些空间是射影概形。
• 对于 $n \leq 9$，他们显式计算了布里吉兰德稳定性流形与莫里锥中的墙，证明了两组墙之间存在一一对应关系。
• 他们验证了当 $n=9$ 时，最终区域的稳定基 locus 是那些在三次曲线上无法施加独立条件的概形的集合，但排除了两个三次曲线的完全交，这些完全交仍位于最终区域的稳定基 locus 中。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $D^b(\text{coh} \, \mathbb{P}^2)$ 上的布里吉兰德稳定性流形中的墙穿跃如何对应于 $\mathbb{P}^{2[n]}$ 的极小模型程序中的翻转与除子性收缩？
• RQ2 对于 $n \leq 9$，$\mathbb{P}^{2[n]}$ 的有效锥的稳定基 locus 分解的精确结构是什么？
• RQ3 通过MMP获得的 $\mathbb{P}^{2[n]}$ 的双有理模型能否被赋予模解释，即作为布里吉兰德半稳定对象的模空间？
• RQ4 这些模空间如何通过奎iver表示的GIT商显式构造，以确保其射影性？
• RQ5 对于 $\mathbb{P}^{2[9]}$，稳定基 locus 分解的最终区域中的稳定基 locus 是什么？

主要发现

• 对于 $n \leq 9$，$\mathbb{P}^{2[n]}$ 的有效锥的稳定基 locus 分解是有限个有理多面体锥的分解，作者显式确定了所有 $n \leq 9$ 的墙。
• 当 $n = \frac{r(r+1)}{2} + s$ 时，$\mathbb{P}^{2[n]}$ 的有效锥由边界除子 $B$ 和除子 $D_E(n)$ 张成，其中 $s/r$ 或 $1 - \frac{s+1}{r+2}$ 属于与黄金分割率和斐波那契比值相关的集合。
• 作者将布里吉兰德半稳定对象的模空间构造为奎iver表示的GIT商，证明其为射影概形。
• 在布里吉兰德稳定性流形中的穿跃与 $\mathbb{P}^{2[n]}$ 的莫里锥中的穿跃之间存在精确的一一对应关系，两者的墙均由 $(s,t)$-平面上的半圆参数化。
• 当 $n=9$ 时，最终区域的稳定基 locus 是那些在三次曲线上无法施加独立条件的9阶概形的集合，但排除了两个三次曲线的完全交。
• 两个三次曲线的完全交不位于最终区域的稳定基 locus 中，因为它们在张成射线 $H - \frac{k}{6k+2}B$ 的束 $E_k$ 的截面上施加了独立条件，且当 $k \to \infty$ 时，这些射线趋近于 $H - \frac{1}{6}B$。