[论文解读] The modelling and analysis of fractional-order control systems in discrete domain

Ivo Petráš, Ľ. Dorčák+1 more|ArXiv.org|Jun 26, 2000

Advanced Control Systems Design参考文献 7被引用 18

一句话总结

本文提出了一种基于离散分数阶微积分近似方法的框架，用于在离散域中对分数阶控制系统的建模与仿真。通过应用Z变换和短记忆原理，结合Grünwald-Letnikov与Riemann-Liouville定义，作者推导出分数阶控制器与系统的通用离散传递函数模型，并通过一个稳定闭环系统的数值示例，展示了其在鲁棒性与灵活性方面优于经典PID控制的性能。

ABSTRACT

This paper deals with fractional-order controlled systems and fractional-order controllers in the discrete domain. The mathematical description by the fractional difference equations and properties of these systems are presented. A practical example for modelling the fractional-order control loop is shown and obtained results are discussed in conclusion.

研究动机与目标

• 提出一种系统化方法，利用分数阶差分方程在离散域中对分数阶控制系统进行建模。
• 通过引入具有任意实数阶积分与微分的广义分数阶$PI^\lambda D^\delta$控制器结构，扩展经典PID控制。
• 通过分数阶算子的离散近似，实现分数阶控制器在实际数字系统中的可行实现。
• 通过一个数值仿真示例，展示分数阶控制在离散时间系统中的可行性与优势。

提出的方法

• 利用分数阶微积分的Grünwald-Letnikov与Riemann-Liouville定义，对分数阶算子进行离散近似。
• 应用短记忆原理与幂级数展开（PSE），计算分数阶差分方程的二项式系数。
• 通过分数阶算子$\omega(z^{-1})$的Z变换推导离散传递函数，其中$\omega(z^{-1}) = \frac{1 - z^{-1}}{T}$。
• 通过系统与控制器传递函数的逆Z变换，构建离散分数阶差分方程。
• 采用梯形（Tustin）规则作为替代生成函数，以提高离散分数阶系统中近似的精度。
• 通过递推关系$c_j^{(\alpha)} = \left(1 - \frac{1 \pm \alpha}{j}\right) c_{j-1}^{(\alpha)}$实现二项式系数的递归计算，提升数值实现效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用分数阶差分方程在离散域中准确建模分数阶控制系统？
• RQ2 适用于在数字控制系统中实现分数阶算子的离散近似方法有哪些？
• RQ3 与经典PID相比，广义$PI^\lambda D^\delta$控制器在离散时间系统中如何提升系统性能？
• RQ4 分数阶积分与微分对闭环配置下系统稳定性与瞬态响应有何影响？

主要发现

• 离散分数阶系统模型由分数阶算子的Z变换推导得出，可通过递归差分方程实现仿真。
• 分数阶$PD^\delta$控制器在$\delta = 1.286$与$T_d = 5.326$时，使闭环系统的稳定性度量$S_t = 2.0$，阻尼比$\xi = 0.4$。
• 所得离散差分方程（15）在$w_k = 1$对所有$k \geq 2$时，能准确模拟闭环响应，表现出稳定收敛。
• 所提方法通过利用Z变换与短记忆近似，实现了分数阶控制器在数字系统中的鲁棒实现。
• 该框架支持具有任意实数阶积分与微分的灵活控制器设计，显著提升了系统调参能力，超越经典PID控制。