[论文解读] The modified indeterminate couple stress model: Why Yang et al.'s arguments motivating a symmetric couple stress tensor contain a gap and why the couple stress tensor may be chosen symmetric nevertheless

Ingo von Münch, Patrizio Neff+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2015

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 49被引用 54

一句话总结

本文指出了杨等人在其改进的偶应力模型中假设偶应力张量对称性的论证中存在一个逻辑漏洞，表明其论据依赖于一个缺乏物理解释的人为平衡条件。本文提出，若总应力张量为对称且迹为零，则偶应力张量仍可保持对称，基于应力梯度分解与变分原理，提出了一种物理上一致的替代方案，从而在不违反物理定律的前提下验证了偶应力的对称性。

ABSTRACT

We show that the reasoning in favor of a symmetric couple stress tensor in Yang et al.'s introduction of the modified couple stress theory contains a gap, but we present a reasonable physical hypothesis, implying that the couple stress tensor is traceless and may be symmetric anyway. To this aim, the origin of couple stress is discussed on the basis of certain properties of the total stress itself. In contrast to classical continuum mechanics, the balance of linear momentum and the balance of angular momentum are formulated at an infinitesimal cube considering the total stress as linear and quadratic approximation of a spatial Taylor series expansion.

研究动机与目标

• 识别杨等人在改进的偶应力模型中关于偶应力张量对称性的论证中的逻辑漏洞。
• 为假设偶应力张量对称性提供一种物理上一致的替代解释。
• 通过泰勒级数展开分析总应力场，阐明偶应力的物理起源。
• 证明偶应力张量的对称性即使在杨等人推理有误的情况下，也不会违反物理定律。
• 将对称偶应力与迹为零的对称总应力及各向同性线弹性理论相协调。

提出的方法

• 基于小应变和各向同性假设，采用变分法推导偶应力模型，其能量形式为二阶梯度能。
• 对总应力场进行至二次项的泰勒级数展开，将应力梯度分解为动量与角动量平衡的贡献。
• 将偶应力张量识别为唯一平衡角动量的合力，其来源于应力梯度。
• 通过强制总应力场对称，推导出偶应力张量必须为迹为零。
• 利用对称应力函数生成迹为零的对称偶应力，从而支持对称张量的选择。
• 将变分推导与无本构假设的纯平衡推导进行比较，验证了结果的一致性。

Figure 1: General affine (left) and conformal mapping (right), which is locally only rotation and dilation.

实验结果

研究问题

• RQ1 杨等人在改进的偶应力模型中关于偶应力张量内在对称性的论证中存在什么缺陷？
• RQ2 即使杨等人的论证有误，偶应力张量是否仍可保持对称而不违反物理定律？
• RQ3 在一致的力学框架中，哪些物理条件或假设可为偶应力张量的对称性提供合理依据？
• RQ4 通过泰勒展开对应力梯度的分解如何与角动量平衡相关联？
• RQ5 在何种条件下偶应力张量会成为迹为零且对称的？

主要发现

• 杨等人关于偶应力对称性的论证存在缺陷，因其依赖于一个缺乏物理解释的人为平衡条件。
• 若总应力张量为对称，则偶应力张量必然为迹为零，这是角动量守恒的直接结果。
• 可构造一个对称应力函数，其生成的偶应力为迹为零且对称，从而为对称性提供了物理解释一致的基础。
• 当内部长度尺度 $L_c$ 有限时，改进的偶应力模型依然有效，且其刚度大于经典弹性理论，刚度随 $L_c^2 \alpha_1 \to \infty$ 而增大。
• 该模型在小尺度样品中支持弯曲与扭转的有限刚度，与‘越小越强’的尺寸效应一致。
• 通过对总应力场至二次项的泰勒展开方法，正确识别出偶应力张量源于应力梯度，从而验证了其在角动量平衡中的作用。

Figure 2: Infinitesimal conformal mappings [ 41 ] locally preserve angles and shapes but may be globally inhomogeneous.