[论文解读] The Modified Lommel functions: monotonic pattern and inequalities

Saiful R. Mondal|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2017

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文利用其幂级数和无穷乘积表示，研究了修正Lommel函数的单调性、对数凸性及比值性质。建立了Turan型与反Turan型不等式，推导出Lommel函数的Rayleigh型函数，并证明了Redheffer型不等式，为数学物理与分析中的这些特殊函数提供了精确的界。

ABSTRACT

This article studies the monotonicity, log-convexity of the modified Lommel functions by using its power series and infinite product representation. Same properties for the ratio of the modified Lommel functions with the Lommel function, $\sinh$ and $\cosh$ are also discussed. As a consequence, some Turán type and reverse Turán type inequalities are given. A Rayleigh type function for the Lommel functions are derived and as an application, we obtain the Redheffer-type inequality.

研究动机与目标

• 分析归一化修正Lommel函数 $\lambda_{\mu,\nu}(x)$ 关于参数 $\mu$、$\nu$ 和变量 $x$ 的单调性与对数凸性性质。
• 为修正Lommel函数及其与 $\sinh(x)$、$\cosh(x)$ 和Lommel函数的比值推导Turan型与反Turan型不等式。
• 利用无穷乘积分解研究比值 $L_{\mu-1/2,1/2}(x)/S_{\mu-1/2,1/2}(x)$ 及相关函数的对数凸性。
• 为Lommel函数构造一个Rayleigh型函数，并应用其推导Redheffer型不等式。
• 通过级数与乘积展开建立相关超几何函数零点的精确不等式与渐近界。

提出的方法

• 利用 $\lambda_{\mu,\nu}(x)$ 的幂级数表示，其为阶为1的偶整函数，以广义超几何函数 ${}_1F_2$ 表示。
• 应用关联函数的无穷乘积表示 $\varphi_k(x) = \prod_{j=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{\eta_{\mu,k,n}^2}\right)$ 分析零点分布与对数凸性。
• 应用引理1.1（关于正系数幂级数的比值单调性）证明 $\lambda_{\mu,\nu}(x)/\lambda_{\mu_1,\nu_1}(x)$ 及相关比值的单调性。
• 通过 $\Lambda_{\mu-1/2,1/2}(x)$ 的无穷乘积对数微分，推导出Rayleigh型函数 $\alpha_n^{(2m)} = \sum_{n=1}^\infty \eta_{\mu,n}^{-2m}$。
• 利用对数微分与级数重展开，将 $\Lambda_{\mu-1/2,1/2}(x)$ 的对数导数与Rayleigh函数关联，并证明比值 $\varphi_\mu(x)$ 的单调性。
• 应用极限比较原理与渐近分析，评估导数比值的边界极限，确立严格单调性与凸性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，比值 $\lambda_{\mu,\nu}(x)/\lambda_{\mu_1,\nu_1}(x)$ 在 $(0, \infty)$ 上严格递增？
• RQ2 参数 $\mu$ 与 $\nu$ 如何影响固定 $x > 0$ 时 $\lambda_{\mu,\nu}(x)$ 的对数凸性与单调性？
• RQ3 在Lommel函数连续零点之间的区间上，比值 $L_{\mu-1/2,1/2}(x)/S_{\mu-1/2,1/2}(x)$ 的对数凸性行为如何？
• RQ4 能否为Lommel函数构造一个Rayleigh型函数以推导Redheffer型不等式？
• RQ5 比值 $\lambda_{\mu,\nu}(x)/\cosh(x)$ 的精确界是什么？在何种条件下其严格递减？

主要发现

• 当 $\mu_1 \geq \mu > -1$ 且 $(\mu_1 - \mu)(\mu_1 + \mu + 6) \geq \nu_1^2 - \nu^2$ 时，比值 $\lambda_{\mu,\nu}(x)/\lambda_{\mu_1,\nu_1}(x)$ 在 $(0, \infty)$ 上严格递增。
• 当 $\mu \pm \nu + 3 > 0$ 时，对每个固定的 $\nu \in \mathbb{R}$ 和 $x > 0$，函数 $\mu \mapsto \lambda_{\mu,\nu}(x)$ 在 $(-1, \infty)$ 上严格递减且对数凸。
• 当 $\mu \pm \nu + 3 > 0$ 时，对每个固定的 $\mu > -1$ 和 $x > 0$，函数 $\nu \mapsto \lambda_{\mu,\nu}(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格对数凸。
• 当 $\mu \pm \nu + 3 > 0$ 时，函数 $x \mapsto \lambda_{\mu,\nu}^2(x)/\cosh(x)$ 在 $[0, \eta_{\mu,1})$ 上严格递减。
• 比值 $\lambda_{\mu-1/2,1/2}(x)\Lambda_{\mu-1/2,1/2}(x)$ 在 $I_\mu$（Lommel函数前两个零点之间的区间）上严格对数凸。
• 函数 $\varphi_\mu(x) = \log(\Lambda_{\mu-1/2,1/2}(x)) / \log(1 - x^2/\eta_{\mu,1}^2)$ 在 $[0, \eta_{\mu,1})$ 上严格递减，其在0处极限为 $\eta_{\mu,1}^2 \alpha_\mu^{(2)}$，在端点处极限为1，表明对零点分布具有精确界。