[论文解读] The Moduli Space of Stables Maps with Divisible Ramification

Oliver Leigh|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 4

一句话总结

该论文构建了具有可除分支的稳定映射模空间的自然紧化，其中每个分支除子均为 r 重。它为亏格零映射建立了完美障碍理论和虚拟基本类，通过 r 次单位根的 canonical 截面定义分支条件，从而使得 r-自旋 Hurwitz 理论和通过虚拟局部化得到的 r-自旋 ELSV 公式成为可能。

ABSTRACT

We develop a theory for stable maps to curves with divisible ramification. For a fixed integer $r>0$, we show that the condition of every ramification locus being divisible by $r$ is equivalent to the existence of an $r$th root of a canonical section. We consider this condition in regards to both absolute and relative stable maps and construct natural moduli spaces in these situations. We construct an analogue of the Fantechi-Pandharipande branch morphism and when the domain curves are genus zero we construct a virtual fundamental class. This theory is anticipated to have applications to $r$-spin Hurwitz theory. In particular it is expected to provide a proof of the $r$-spin ELSV formula [SSZ'15, Conj. 1.4] when used with virtual localisation.

研究动机与目标

• 开发一个稳定映射模空间的紧化，其分支可被固定整数 r 整除。
• 通过 r 次单位根的 canonical 截面重新表述分支条件，实现在奇异和节点曲线情形下的紧化。
• 为具有可除分支的亏格零映射构造虚拟基本类。
• 将 Fantechi-Pandharipande 分支映射推广到此情形。
• 为利用虚拟局部化技术证明 r-自旋 ELSV 公式提供基础。

提出的方法

• 通过定义域曲线 C 上的线丛 L、L 上的截面 σ，以及一个同构 e: L^r → ω_C ⊗ f^*ω_X^∨，使得 e(σ^r) = δ（其中 δ 为微分映射的对偶），来定义模空间。
• 使用 r-预稳定曲线——在底空间节点处具有平衡 r-轨道点的堆栈——来处理奇异定义域并确保适当的紧化。
• 构造一个类似于 Fantechi-Pandharipande 映射的分支映射，其目标为分支覆盖的空间。
• 通过从稳定映射模空间到退化目标空间的平坦态射拉回，建立完美障碍理论。
• 利用锥构造和导出范畴，在亏格零情形下定义虚拟基本类。
• 在亏格零情形下利用平展基变换，将完美障碍理论从部分紧化空间转移到完整模空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在稳定映射模空间中自然地紧化可除分支条件（即分支除子可被 r 整除）？
• RQ2 在奇异和节点曲线情形下，可除分支的正确几何表述是什么？
• RQ3 当定义域亏格为零时，能否为具有可除分支的稳定映射模空间构造虚拟基本类？
• RQ4 在此 r-可除分支背景下，分支映射如何推广？
• RQ5 该模空间与 r-自旋 Hurwitz 理论之间有何关系，特别是在证明 r-自旋 ELSV 公式方面？

主要发现

• 具有 r-可除分支的稳定映射模空间，记为 $\overline{\mathcal{M}}^{1/r}_{g}(X,d)$，是一个紧致的 Deligne-Mumford 堆栈。
• 该空间非空当且仅当 r 整除 $2g - 2 - d(2g_X - 2)$，确保满足拓扑障碍条件。
• 遗忘映射 $\chi: \overline{\mathcal{M}}^{1/r}_{g}(X,d) \to \overline{\mathcal{M}}_{g}(X,d)$ 是平坦的，相对维数为零，并且在具有 r-可除分支的映射开子集上是浸入。
• 对于亏格零情形，存在完美障碍理论，从而产生维数为 m 的虚拟基本类，其中 m 为预期维数。
• 虚拟基本类通过拉回相对对偶化复形上的锥构造定义，利用 r 次单位根数据。
• 从部分紧化空间出发的平展基变换确保虚拟基本类在亏格零情形下可下移至完整模空间。