[论文解读] The Monge-Ampère equation on almost complex manifolds

Szymon Pliś|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文证明了在几乎复流形的严格强拟凸域上，Monge-Ampère 方程的 Dirichlet 问题存在唯一光滑解。通过使用拟凸势论和 $J$-拟凸次调和函数理论，本文证明：对于给定的光滑边界数据和体积形式，存在唯一光滑解，将复几何中的结果推广至非可积的几乎复设置。

ABSTRACT

We study the Dirichlet problem for the Monge-Ampère equation on almost complex manifolds. We obtain the existence of the unique smooth solution of this problem in strictly pseudoconvex domains.

研究动机与目标

• 将复 Monge-Ampère 方程理论推广至不可积的几乎复结构。
• 在几乎复流形的严格强拟凸域上，建立 Monge-Ampère 方程 Dirichlet 问题的光滑解的存在性与唯一性。
• 将复几何中已知结果（例如 $\mathbb{C}^n$ 上标准复结构的情形）推广至更广泛的几乎复流形设置。
• 为非可积几乎复结构下的 Dirichlet 问题提供求解框架，包括边界非连通的严格强拟凸域情形。

提出的方法

• 本文通过光滑 $J$-拟凸次调和函数 $u$ 的 $(1,1)$-当前 $i\partial\bar{\partial}u$ 定义 Monge-Ampère 算子，并研究其 $n$ 次幂作为体积形式。
• 利用局部坐标和 $T^{1,0}M$ 的基 $\zeta_1, \dots, \zeta_n$，将 $i\partial\bar{\partial}u$ 表示为系数 $A_{p\bar{q}}(u)$ 的形式，这些系数反映了几乎复结构 $J$ 的不可积性。
• 通过连续性方法和光滑严格拟凸次调和函数的逼近，利用 $J$-拟凸次调和函数的比较原理，证明了光滑解的存在性。
• 应用 Newlander-Nirenberg 定理将可积几乎复结构与复结构联系起来，并利用此关系在可积情形下合理使用标准工具。
• 构造边界数据的光滑逼近序列，并利用比较原理证明解在 $\mathcal{C}^0$ 拓扑下的收敛性。
• 证明连续极大拟凸次调和函数是局部极大的，并利用此性质证明 Dirichlet 问题的解是唯一且连续的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不可积几乎复流形设置下，Monge-Ampère 方程的 Dirichlet 问题是否可解？
• RQ2 哪些域和边界数据条件能保证 Monge-Ampère 方程光滑解的存在性与唯一性？
• RQ3 几乎复结构的不可积性如何影响 Monge-Ampère 算子的行为以及 Dirichlet 问题的可解性？
• RQ4 即使在不可积情形下，若边界数据足够正则，Dirichlet 问题的解是否仍为 Lipschitz 连续？
• RQ5 几乎复几何中的极大函数理论能否通过局部极大性与比较原理来刻画？

主要发现

• 本文证明了在几乎复流形的 $\mathcal{C}^\infty$ 类严格强拟凸域上，Dirichlet 问题 $(i\partial\bar{\partial}u)^n = dV$ 存在唯一光滑解 $u$。
• 解 $u$ 是 $J$-拟凸次调和函数，且属于 $\mathcal{PSH}(\Omega) \cap \mathcal{C}^\infty(\bar{\Omega})$，满足在 $\partial\Omega$ 上 $u = \varphi$，其中 $\varphi$ 为光滑边界数据。
• 若边界数据 $\varphi$ 足够正则，则解为 Lipschitz 连续，优于 Harvey 和 Lawson 的早期结果。
• 本文建立：连续极大拟凸次调和函数是局部极大的，且在 Dirichlet 条件下此类函数唯一。
• 证明了 $\mathcal{F}(J)$-调和函数（通过与严格拟凸次调和函数比较定义）在 $\mathcal{C}^0$ 类中与极大拟凸次调和函数一致。
• 该结果将复 Monge-Ampère 理论推广至不可积几乎复结构，表明 Dirichlet 问题在与复情形相同的几何与分析条件下仍可解。