[论文解读] The Monge Problem for distance cost in geodesic spaces

Stefano Bianchini, Fabio Cavalletti|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文通过将运输问题简化为测地线上的单变量问题，建立了在测地度量空间中距离代价下Monge问题存在解的条件。关键贡献在于证明：若源测度沿测地线的分解相对于1维Hausdorff测度是绝对连续的，则存在运输映射，即使仅$d_L$-循环单调性不足以保证最优性。

ABSTRACT

We address the Monge problem in metric spaces with a geodesic distance: (X, d) is a Polish space and dL is a geodesic Borel distance which makes (X,dL) a non branching geodesic space. We show that under the assumption that geodesics are d-continuous and locally compact, we can reduce the transport problem to 1-dimensional transport problems along geodesics. We introduce two assumptions on the transport problem π which imply that the conditional probabilities of the first marginal on each geodesic are continuous or absolutely continuous w.r.t. the 1- dimensional Hausdorff distance induced by dL. It is known that this regularity is sufficient for the construction of a transport map. We study also the dynamics of transport along the geodesic, the stability of our conditions and show that in this setting dL-cyclical monotonicity is not sufficient for optimality.

研究动机与目标

• 在测地距离作为代价的测地度量空间中解决Monge问题。
• 识别出在一般情况下$d_L$-循环单调性不足以保证最优性时，其能推出最优性的条件。
• 将多维最优运输问题简化为沿测地线的单维运输问题。
• 通过确保沿测地线的源测度分解相对于1维Hausdorff测度是绝对连续的，建立运输映射的存在性。

提出的方法

• 作者利用非分支假设和运输计划$\pi$的循环单调性，将运输集$\mathcal{T}_e$划分为测地线射线，形成测地线内点集$\mathcal{T}$的一个划分$R$。
• 他们定义了一个射线映射$g = g^+ \cup g^-$，为$\mathcal{T}$中的每个点分配唯一的通过该点的测地线段，从而实现将运输问题分解为一维分量。
• 分析了源测度$\mu$沿每条测地线的分解，并引入两个关键假设，以确保条件概率相对于1维Hausdorff测度是绝对连续的。
• 通过当前$\dot{g}$发展出一种动态解释，代表沿测地线的流动，并建立运输方程以描述该流动下集合的演化。
• 通过度量空间的逼近分析非退化条件的稳定性，确保结果在扰动下具有鲁棒性。
• 通过结合选择原理与分解的正则性，构造了运输映射，证明了在所述条件下解的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种测地空间和运输计划条件下，当代价由测地距离给出时，Monge问题存在解？
• RQ2 在非分支测地空间中，多维最优运输问题能否被简化为沿测地线的单维运输问题？
• RQ3 $d_L$-循环单调性在测地空间中是否足以保证最优性，还是需要额外的正则性条件？
• RQ4 何种条件能确保源测度沿测地线的分解相对于1维Hausdorff测度是绝对连续的？
• RQ5 由当前$\dot{g}$描述的测地线方向集合的动态演化，如何与运输映射的存在性和稳定性相关联？

主要发现

• 当源测度$\mu$沿测地线的分解相对于由$d_L$诱导的1维Hausdorff测度是绝对连续时，Monge问题在非分支测地空间中存在解。
• 在测地线为$d$-连续且局部紧的假设下，将运输问题简化为沿测地线的单维问题的方法是有效的。
• $d_L$-循环单调性不足以保证最优性，这通过一个具有特定结构的度量空间中的反例得到证明。
• 当且仅当每条测地线上条件概率相对于1维Hausdorff测度是绝对连续时，$\mu$的分解才具有强一致性。
• 非退化条件的稳定性在度量空间逼近下得以保持，确保了解在扰动下具有鲁棒性。
• 当沿测地线的$\mu$分解是连续或绝对连续时，运输映射存在，这由运输计划$\pi$的两个引入假设所保证。