[论文解读] The Morse and Maslov Indices for Schrödinger Operators

Yuri Latushkin, Alim Sukhtayev+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2014

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 34被引用 6

一句话总结

本文通过在辛希尔伯特空间中利用抽象边界值，将经典Morse-Smale指标定理推广至具有周期性和准周期性边界条件的多维Schrödinger算子，建立了Morse指标（负特征值个数）与Maslov指标（共轭点个数）之间的联系。基于抽象边界值空间的泛函分析框架，作者直接建立了不稳定特征值与拉格朗日子空间中的共轭点之间的对应关系，避免了弱解和迹算子相关的技术困难。

ABSTRACT

We study the spectrum of Schrödinger operators with matrix valued potentials utilizing tools from infinite dimensional symplectic geometry. Using the spaces of abstract boundary values, we derive relations between the Morse and Maslov indices for a family of operators on a Hilbert space obtained by perturbing a given self-adjoint operator by a smooth family of bounded self-adjoint operators. The abstract results are applied to the Schrödinger operators with quasi-periodic, Dirichlet and Neumann boundary conditions. In particular, we derive an analogue of the Morse-Smale Index Theorem for the multidimensional Schrödinger operators with periodic potentials. For quasi convex domains in $\mathbb{R}^n$ we recast the results connecting the Morse and Maslov indices using the Dirichlet and Neumann traces on the boundary of the domain.

研究动机与目标

• 将经典的Morse-Smale指标定理推广至具有周期性和准周期性边界条件的多维Schrödinger算子。
• 在无穷维辛空间中，建立Morse指标（负特征值个数）与Maslov指标（共轭点个数）之间严格的联系。
• 发展一种基于抽象边界值的泛函分析方法，避免边界值问题中弱解与迹算子带来的技术挑战。
• 将抽象框架应用于具有Dirichlet与Neumann边界条件的拟凸区域上的Schrödinger算子。
• 通过辛不变量，对Schrödinger算子的离散谱提供拓扑表征。

提出的方法

• 作者利用抽象边界值空间（定义为dom(A*)/dom(A)的商空间）构造辛希尔伯特空间结构，以分析边界值问题。
• 他们定义了一条与自伴扩张A_D及其由光滑有界自伴算子族V_t扰动相关的拉格朗日子空间路径。
• 共轭点（交叉点）被识别为当拉格朗日子空间路径与γ(D)的轨线相交时的t值，对应于特征值问题的非平凡解。
• 通过[BF]中的抽象辛几何理论，证明A_D + V_t的Morse指标等于Maslov指标，即按重数计数此类交叉点的个数。
• 该框架无需证明拉格朗日子空间路径的可微性，因为这由[BF]中的抽象理论自动保证。
• 结果被应用于R^n中拟凸区域上的Schrödinger算子，利用Dirichlet与Neumann迹将抽象边界值与物理边界条件关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用辛不变量表达具有周期性或准周期性边界条件的多维Schrödinger算子的Morse指标？
• RQ2 能否利用计数拉格朗日子空间路径中共轭点的Maslov指标来计算Schrödinger算子的负特征值个数？
• RQ3 抽象边界值在简化具有复杂边界条件的微分算子的Maslov指标分析中起什么作用？
• RQ4 抽象边界值框架如何消除边界值问题中与弱解和迹算子相关的技术障碍？
• RQ5 Morse-Smale指标定理在何种程度上可推广至具有非Dirichlet型边界条件（如Neumann或混合条件）的区域上的算子？

主要发现

• 扰动算子A_D + V_t的Morse指标等于抽象边界值空间中相关拉格朗日子空间路径的Maslov指标。
• 不稳定特征值的个数（Morse指标）恰好等于拉格朗日子空间路径与γ(D)轨线相交的共轭点（交叉点）个数，按重数计数。
• 抽象边界值框架自动保证了拉格朗日子空间路径的可微性，避免了以往工作中需逐项验证的繁琐过程。
• 对于拟凸区域，结果通过Dirichlet与Neumann迹重新表述，表明Maslov指标计数了具有非平凡边界数据的特征值问题的解的个数。
• 该方法适用于具有矩阵值势的Schrödinger算子，并通过辛不变量对离散谱提供了拓扑描述。
• 该框架成功将Morse-Smale指标定理推广至多维周期性与准周期性情形，此前此类联系尚不存在。