[论文解读] The motivic t-structure for relative 1-motives

Simon Pepin Lehalleur|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 42被引用 5

一句话总结

本文在诺特有限维概形 S 上的相对上同调 1-动机的有理系数 triangulated category 上构造了一个非退化的动机 t-结构。它证明了当 S 为正则时，该 t-结构的心 MM¹(S) 全忠实包含 Deligne 1-动机的范畴，并证明了作为包含 DA¹(S) ⊂ DA^{coh}(S) 的右伴随的动机 Picard 函子，保持紧致对象。

ABSTRACT

We construct and study a candidate for the standard motivic t-structure on the triangulated category of relative cohomological 1-motives with rational coefficients over a noetherian finite dimensional scheme S. This t-structure is defined as a generated t-structure, and we show it is non-degenerate. We relate its heart MM^1(S) with Deligne 1-motives over S; in particular, when S is regular, the category of Deligne 1-motives embeds in MM^1(S) fully faithfully. We also study the inclusion of DA^1(S) into the larger category DA^{coh}(S) of relative cohomological motives on S, and prove that its right adjoint, the motivic Picard functor, preserves compact objects.

研究动机与目标

• 在诺特有限维概形 S 上的相对上同调 1-动机的有理系数 triangulated category 上定义标准动机 t-结构的候选。
• 证明该 t-结构是非退化的，并由某一类合适的对象生成。
• 将该 t-结构的心 MM¹(S) 与 S 上 Deligne 1-动机的范畴联系起来。
• 研究 S 上的 DA¹(S) 到更大的相对上同调动机范畴 DA^{coh}(S) 的包含关系。
• 证明该包含关系的右伴随，即动机 Picard 函子，保持紧致对象。

提出的方法

• 通过在相对上同调 1-动机的有理系数 triangulated category 中使用特定的一组生成元，定义动机 t-结构为生成 t-结构。
• 通过生成类的同调与上同调性质，确立 t-结构的非退化性。
• 通过范畴嵌入与全忠实性判别法，分析 MM¹(S) 与 Deligne 1-动机之间的关系。
• 利用导出范畴技巧和紧致对象的性质，研究包含关系 DA¹(S) ⊂ DA^{coh}(S)。
• 将动机 Picard 函子识别为包含函子的右伴随，并通过对偶性与伴随函子定理，证明其保持紧致对象。
• 该分析依赖于 S 为诺特且有限维的假设，以确保构造的有限性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在诺特有限维概形 S 上的相对上同调 1-动机的有理系数 triangulated category 上，是否存在一个自然的动机 t-结构？
• RQ2 该 t-结构是否是非退化的，并由明确定义的一类对象生成？
• RQ3 当 S 为正则时，该 t-结构的心 MM¹(S) 与 S 上 Deligne 1-动机的范畴之间有何关系？
• RQ4 包含函子 DA¹(S) → DA^{coh}(S) 在伴随函子与紧致对象方面的行为如何？
• RQ5 作为该包含关系的右伴随，动机 Picard 函子是否保持紧致对象？

主要发现

• 在相对上同调 1-动机的有理系数上构造了动机 t-结构，并证明其为非退化结构。
• 当 S 为正则时，Deligne 1-动机的范畴全忠实嵌入 MM¹(S)，建立了强范畴联系。
• 该 t-结构的心 MM¹(S) 为动机语境下 1-动机的研究提供了自然框架。
• 包含函子 DA¹(S) → DA^{coh}(S) 具有右伴随，即动机 Picard 函子。
• 动机 Picard 函子保持紧致对象，这是导出范畴设定下的关键有限性性质。
• 结果扩展了在 1-动机语境下对动机 t-结构的理解，并支持了该设定下的标准动机猜想。