[论文解读] The Nicolas and Robin inequalities with sums of two squares

William D. Banks, Derrick Hart+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2007

Analytic Number Theory Research参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文证明了 Nicolas 不等式与 Robin 不等式——测试黎曼猜想的关键工具——对所有可表示为两平方和的自然数中，除有限多个外均成立。通过分析由素因数分解约束定义的广泛集合类，作者证明仅有有限多个此类数违反不等式，并在两平方和情形下明确识别出全部 347 个例外。

ABSTRACT

In 1984, G. Robin proved that the Riemann hypothesis is true if and only if the Robin inequality $σ(n)5040$, where $σ(n)$ is the sum of divisors function, and $γ$ is the Euler-Mascheroni constant. We exhibit a broad class of subsets $\cS$ of the natural numbers such that the Robin inequality holds for all but finitely many $n\in\cS$. As a special case, we determine the finitely many numbers of the form $n=a^2+b^2$ that do not satisfy the Robin inequality. In fact, we prove our assertions with the Nicolas inequality $n/ϕ(n)1$ our results for the Robin inequality follow at once.

研究动机与目标

• 识别自然数的无限族，使得 Nicolas 与 Robin 不等式对其中所有但有限多个元素成立。
• 分析在特定算术集合中，除数函数与欧拉函数在与黎曼猜想相关联时的行为。
• 精确确定形式为 $ n = a^2 + b^2 $ 的数中，违反 Nicolas 不等式的有限集合。
• 在某些情形下，通过去除 $ n > 5040 $ 的限制，扩展已知的黎曼猜想判据。

提出的方法

• 定义集合类 $ \mathcal{S} = \{ n \in \mathbb{N} \mid \text{若 } p \in \mathcal{Q} \text{ 且 } p \mid n, \text{ 则 } p^2 \mid n \} $，其中 $ \mathcal{Q} $ 是集合 $ \mathcal{P} \subset \mathbb{P} $ 的补集，且 $ \mathcal{P} $ 具有正的下密度与小于 1 的上密度。
• 利用模 4 算术级数中素数的有效界，分析两平方和情形。
• 利用不等式 $ \sigma(n)/n < n/\varphi(n) $ 对 $ n > 1 $ 成立，因此 Nicolas 不等式的结论可推出 Robin 不等式的结论。
• 应用 Mertens 定理与素数定理，分析 $ \sigma(n)/(n \log \log n) $ 与 $ n/(\varphi(n) \log \log n) $ 的渐近行为。
• 构造序列 $ \{a_n\} \subset \mathcal{S} $，满足 $ a_n = \exp(n^{1+o(1)}) $ 且对每个素数 $ p $ 有 $ v(p,n) \to \infty $，以证明该比值的上极限趋近于 $ e^\gamma $。
• 利用文献 [6] 中的有效界，计算出精确的有限集合 $ \mathcal{S} \setminus \mathcal{N} $，结果为 347 个违反 Nicolas 不等式的数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些无限子集 $ \mathcal{S} \subset \mathbb{N} $，Nicolas 不等式 $ n/\varphi(n) < e^\gamma \log \log n $ 对所有但有限多个 $ n \in \mathcal{S} $ 成立？
• RQ2 有多少个形如 $ n = a^2 + b^2 $ 的数不满足 Nicolas 不等式？
• RQ3 能否在某些算术集合中，无需 $ n > 5040 $ 的限制，用 Robin 不等式表征黎曼猜想？
• RQ4 在两平方和集合上，$ \sigma(n)/(n \log \log n) $ 与 $ n/(\varphi(n) \log \log n) $ 的渐近行为如何？
• RQ5 在集合 $ \mathcal{S} $ 上，$ \sigma(n)/(n \log \log n) $ 的上极限是否等于 $ e^\gamma $？该结论在两平方和集合上是否成立？

主要发现

• 对于由条件定义的任意集合 $ \mathcal{S} $，即若来自集合 $ \mathcal{Q} $（具有正下密度与小于 1 的上密度）的素数整除 $ n $，则其平方也整除 $ n $，则不满足 Nicolas 不等式的集合 $ \mathcal{S} \setminus \mathcal{N} $ 为有限集。
• 在特定情形下，当 $ \mathcal{P} $ 为满足 $ \equiv 1 \pmod{4} $ 的素数与 $ \{2\} $ 的并集时，集合 $ \mathcal{S} $ 包含所有可表示为两平方和的数。
• 集合 $ \mathcal{S} \setminus \mathcal{N} $ 恰好包含 347 个自然数，其中 246 个可表示为两平方和。
• 在两平方和集合上，$ \sigma(n)/(n \log \log n) $ 与 $ n/(\varphi(n) \log \log n) $ 的上极限恰好为 $ e^\gamma $，确认了这些比值的渐近极值性。
• 结果表明，Robin 不等式对任意此类集合 $ \mathcal{S} $ 中所有但有限多个 $ n $ 成立，特别地，对所有但有限多个 $ n = a^2 + b^2 $ 成立。
• 本文确立了黎曼猜想等价于 Robin 不等式对所有被某个素数的五次方整除的 $ n $ 成立，且无需 $ n > 5040 $ 的限制。