[论文解读] The non-amenability of Schreier graphs for infinite index quasiconvex subgroups of hyperbolic groups

Ilya Kapovich|ArXiv.org|Jan 10, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 60被引用 15

一句话总结

本文证明了在非初等双曲群中，无限指数拟凸子群的Schreier陪集图是非可均的。通过几何群论技术，包括拟测地线追踪、拟凸性以及共轭分离性，作者建立该类图具有正的Cheeger常数且谱半径小于1，从而表明随机游走是瞬时的。关键贡献在于在双曲设定下，对相对Cayley图的结构性非可均性结果。

ABSTRACT

We show that if $H$ is a quasiconvex subgroup of infinite index in a non-elementary hyperbolic group $G$ then the Schreier coset graph $X$ for $G$ relative to $H$ is non-amenable (that is, $X$ has positive Cheeger constant). We present some corollaries regading the Martin boundary and Martin compactification of $X$ and the co-growth of $H$ in $G$.

研究动机与目标

• 建立非初等双曲群中无限指数拟凸子群相关Schreier陪集图的非可均性。
• 扩展对双曲群论中相对Cayley图的概率与几何性质的理解。
• 通过拟测地线、拟凸性及共轭分离性提供一种几何证明，以排除Følner序列的存在。
• 证明此类图支持瞬时随机游走，并且其Martin边界与双曲边界同胚。

提出的方法

• 通过拟凸子群H中的元素与共轭分离的无限循环子群L = ⟨c⟩中的元素构造拟测地线词序列。
• 利用N-局部拟测地线性质，确保构造的词在G的Cayley图中保持一致的拟测地线性。
• 应用(H, L)1 < ∞条件与拟凸性，控制测地线与子路径之间的Hausdorff距离。
• 基于测地四边形中重叠线段的存在性，采用反证法证明H与L是共轭分离的。
• 利用Cayley图的双曲性与Ancona定理，将非可均性与Martin边界结构联系起来。
• 固定常数M′, C′, λ′，以确保词的拼接保持拟测地线性，并避免生成子群的平凡性。

实验结果

研究问题

• RQ1 非初等双曲群中无限指数拟凸子群的Schreier陪集图是否是非可均的？
• RQ2 能否在不依赖群上同调的前提下，通过几何群论技术建立此类图的非可均性？
• RQ3 共轭分离性与相对Cayley图的非可均性之间存在何种关系？
• RQ4 环境群的双曲性如何与相对图的非可均性相互作用？
• RQ5 这些图上的随机游走收敛到双曲边界到何种程度？

主要发现

• 在非初等双曲群G中，无限指数拟凸子群H的Schreier陪集图Γ(G, H, A)是非可均的，其正的Cheeger常数提供了证据。
• 在Γ(G, H, A)上简单随机游走的谱半径严格小于1，确认了游走的瞬时性。
• 在Γ(G, H, A)上随机游走的Martin边界与双曲边界∂X同胚，且Martin紧化与双曲紧化一致。
• 对于由a = cm与b = (h′)−1cmh′生成的自由子群F = ⟨a, b⟩中的任意非平凡元素f，其词长|f|A满足λ′2+1 / λ′ − λ′ > 0，确保F是秩为2的自由群。
• 子群F = ⟨a, b⟩在G中是拟凸的，因为每个位于测地线段[1, f]上的点都位于F的某个元素的均匀有界邻域内。
• 证明中的矛盾源于假设H与⟨c⟩不是共轭分离的，导致H ∩ g⟨c⟩g−1中存在非平凡元素，违反了共轭分离假设。