[论文解读] The nonlinear fractional diffusion equations with Nagumo-type sources and perturbed orders

Nguyen Minh Dien, Erkan Nane+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2020

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文研究了具有Caputo时间导数和扰动分数阶数的非线性分数阶扩散方程解的存在性、唯一性与稳定性，其非线性源项为Nagumo型。研究建立了对不适定终值问题进行正则化时，在分数阶数扰动下的Hölder型误差估计，证明了解的不稳定性，并提出了初始数据恢复的正则化方法。

ABSTRACT

We consider a class of nonlinear fractional equations having the Caputo fractional derivative of the time variable $t$, the fractional order of the self-adjoint positive definite unbounded operator in a Hilbert space and a singular nonlinear source. These equations are generalizations of some well-known fractional equation such as the fractional Cahn-Allen equation, the fractional Burger equation, the fractional Cahn-Hilliard equation, the fractional Kuramoto-Sivashinsky equation, etc. We study both the initial value and the final value problem. Under some suitable assumptions, we investigate the existence, uniqueness of maximal solution, and stability of solution of the problems with respect to perturbed fractional orders. For $t=0$, we show that the final value problem is instable and deduce that the problem is ill-posed. A regularization method is proposed to recover the initial data from the inexact fractional orders and the final data. By some regularity assumptions of the exact solutions of the problems, we obtain an error estimate of Hölder type.

研究动机与目标

• 建立具有奇异（Nagumo型）源项的非线性分数阶扩散方程最大解的存在性与唯一性。
• 分析解关于分数阶数α和β扰动的稳定性。
• 研究终值问题（FFVP）的不适定性，并提出一种用于恢复初始数据的正则化方法。
• 在精确解具有正则性假设的条件下，推导正则化方法的Hölder型误差估计。
• 在分数阶和奇异源项条件下，推广已知方程如Cahn–Allen、Burger和Kuramoto–Sivashinsky方程。

提出的方法

• 在希尔伯特空间框架下建立问题，其中包含一个自伴、正定、无界的算子A和Caputo分数阶导数D_t^α。
• 引入满足奇异Lipschitz条件的Nagumo型源项f(t,u)，其中K(t,M) = t^{-ν}κ(M)，ν > 0。
• 分析初值问题（FIVP）和终值问题（FFVP），在适当假设下证明最大解的存在性与唯一性。
• 证明由于在α和β上的扰动导致解不稳定，因此FFVP是不适定的。
• 提出一种正则化方法，用于从不精确的终值数据和扰动的阶数中重构初始数据。
• 采用谱投影技术，并通过特征值和算子范数的估计，推导出Hölder型误差界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有Nagumo型源项的非线性分数阶扩散方程初值问题存在唯一的最大解？
• RQ2 终值问题的解在分数阶数α和β发生扰动时如何变化？
• RQ3 终值问题是否由于分数阶数扰动下的不稳定性而成为不适定问题？
• RQ4 能否通过正则化方法从不精确的终值数据和扰动阶数中恢复初始数据，并获得可量化的误差界？
• RQ5 正则化方法的收敛速率如何，取决于扰动大小和解的正则性？

主要发现

• 在Nagumo型源项条件和适当的正则性假设下，初值问题存在唯一的最大解。
• 终值问题被证明是不适定的，因为α和β的微小扰动会导致解误差任意增大。
• 提出了一种正则化方法，以稳定从扰动阶数和终值数据中恢复初始数据的逆问题。
• 推导出Hölder型误差估计：‖Q̃ - Q‖_γ,ρ ≤ ε + D N^{2β*} ln N (|α - α̃| + |β - β̃|)^{1/2}，其中D依赖于问题参数。
• 误差界依赖于精确解的正则性和分数阶数扰动的大小，收敛速率为O((|α - α̃| + |β - β̃|)^{1/2})。
• 该分析可推广至Cahn–Allen、Burger和Kuramoto–Sivashinsky方程，通过将它们嵌入抽象分数阶框架中。