[论文解读] The number of distinct and repeated squares and cubes in the Fibonacci sequence

Yuke Huang, Zhi‐Ying Wen|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2016

semigroups and automata theory参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文提供了斐波那契词前缀中不同平方数和重复平方数、不同立方数和重复立方数数量的显式公式，利用返回词和奇异词的递归结构。推导出了 $ A(n) $、$ B(f_m) $、$ C(n) $ 和 $ D(f_m) $ 的闭式表达式，并提出了高效算法以计算任意 $ n $ 的 $ B(n) $ 和 $ D(n) $，扩展了先前关于斐波那契词组合学的研究成果。

ABSTRACT

The Fibonacci sequence $\mathbb{F}$ is the fixed point beginning with $a$ of morphism $σ(a,b)=(ab,a)$. In this paper, we get the explicit expressions of all squares and cubes, then we determine the number of distinct squares and cubes in $\mathbb{F}[1,n]$ for all $n$, where $\mathbb{F}[1,n]$ is the prefix of $\mathbb{F}$ of length $n$. By establishing and discussing the recursive structure of squares and cubes, we give algorithms for counting the number of repeated squares and cubes in $\mathbb{F}[1,n]$ for all $n$, and get explicit expressions for some special $n$ such as $n=f_m$ (the Fibonacci number) etc., which including some known results such as in A.S.Fraenkel and J.Simpson, J.Shallit et al.

研究动机与目标

• 确定斐波那契词前缀 $ \mathbb{F}[1,n] $ 中不同和重复平方数与立方数的数量，适用于所有 $ n $。
• 扩展关于斐波那契数列中平方数与立方数出现次数的已知结果，特别是 Fraenkel、Simpson 和 Shallit 等人的研究。
• 开发高效算法以计算重复平方数 $ B(n) $ 和重复立方数 $ D(n) $，即使不存在闭式表达式亦可实现。
• 建立基于返回词和奇异词的递归框架，以分析斐波那契数列中平方数与立方数的分布。

提出的方法

• 利用斐波那契数列中返回词的结构，其中任意因子的返回词序列构成一个由两个返回符号组成的斐波那契词。
• 应用性质 2.2，即任意因子的返回词序列本身是一个斐波那契词，从而实现对平方数与立方数出现次数的递归分析。
• 使用奇异词 $ K_m $，其为回文且在出现中极大，以刻画任意因子的核及其返回结构。
• 通过返回词结构推导平方数与立方数位置的递归关系，实现通过动态分解高效计算计数。
• 使用恒等式 $ f_m = |F_m| $（斐波那契数）定义关键区间，以实现对 $ D(n) $ 和 $ B(n) $ 的递归约减。
• 应用推论 10.6，通过基于斐波那契数恒等式的更小区间约减，高效计算部分和 $ \sum_{i=f_m-1}^n d(i) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在长度为 $ n $ 的斐波那契词前缀中，不同平方数 $ A(n) $ 的确切数量是多少？能否以闭式表达？
• RQ2 即使没有闭式表达式，如何高效计算任意 $ n $ 的重复平方数 $ B(n) $？
• RQ3 在 $ \mathbb{F}[1,n] $ 中，不同立方数 $ C(n) $ 的显式公式是什么？其与斐波那契结构有何关联？
• RQ4 在斐波那契长度前缀处，重复立方数 $ D(f_m) $ 的闭式表达式是什么？与先前结果相比如何？
• RQ5 能否基于斐波那契数分解的递归约减，构建一个快速算法以计算任意 $ n $ 的 $ D(n) $？

主要发现

• 对所有 $ n $，$ \mathbb{F}[1,n] $ 中不同平方数 $ A(n) $ 的数量被显式确定，完整刻画了平方数的出现情况。
• 当 $ m \geq 6 $ 时，重复平方数 $ B(f_m) $ 的表达式为 $ \frac{m-11}{5}f_{m-1} + \frac{m+1}{5}f_{m-3} + m + 1 $，扩展了 Fraenkel 和 Simpson 的先前工作。
• 通过递归结构确定了不同立方数 $ C(n) $ 的数量，且 $ C(n) $ 可用斐波那契数和返回词性质表示。
• 当 $ m \geq 6 $ 时，重复立方数 $ D(f_m) $ 的显式表达式为 $ \frac{m-11}{5}f_{m-1} + \frac{m+1}{5}f_{m-3} + m + 1 $，与 Shallit 等人的结果一致，并通过代数恒等式重新表达。
• 构建了一个快速算法，用于计算任意 $ n $ 的 $ D(n) $，该算法基于推论 10.6 的递归约减及由斐波那契数定义的区间上的部分和计算。
• 本文确认了其 $ D(f_m) $ 表达式与 Shallit 等人提出的指数形式等价，通过精确系数比较验证了新代数推导的正确性。