[论文解读] The number of plane conics 5-fold tangent to a given curve

Andreas Gathmann|ArXiv.org|Jan 31, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文利用相对 Gromov-Witten 不变量，计算了关于一般次数为 $ d $ 的平面曲线的五重切不可约平面圆锥的数量，解决了由于非枚举性边界贡献而长期无法用经典方法解决的古典枚举几何问题。关键结果是得到了 $ n_d $ 的闭式公式，该方法进一步应用于 K3 曲面上有理曲线的计数，揭示了与卡拉比-丘三fold 不变量中类似的修正项。

ABSTRACT

Given a general plane curve Y of degree d, we compute the number n_d of irreducible plane conics that are 5-fold tangent to Y. This problem has been studied before by Vainsencher using classical methods, but it could not be solved there because the calculations received too many non-enumerative correction terms that could not be analyzed. In our current approach, we express the number n_d in terms of relative Gromov-Witten invariants that can then be directly computed. As an application, we consider the K3 surface given as the double cover of P^2 branched along a sextic curve. We compute the number of rational curves in this K3 surface in the homology class that is the pull-back of conics in P^2, and compare this number to the corresponding Yau-Zaslow K3 invariant. This gives an example of such a K3 invariant for a non-primitive homology class.

研究动机与目标

• 计算不可约平面圆锥在一般次数为 $ d $ 的平面曲线 $ Y $ 上五重切的数目 $ n_d $，这是枚举几何中的一个经典问题。
• 解决经典方法因圆锥模空间中非枚举性贡献而失效的问题。
• 应用相对 Gromov-Witten 理论计算虚拟不变量，并减去边界贡献以获得枚举性数值。
• 研究作为六次曲线为分支点的 $ \mathbb{P}^2 $ 的双覆盖的 K3 曲面上的有理曲线计数，特别是针对非本原同调类的情形。
• 将非本原类的 K3 不变量与 Yau-Zaslow 生成函数 $ G(q) $ 进行比较，并识别出修正项。

提出的方法

• 使用模空间 $ \overline{M}^{Y}_{(2,2,2,2,2)}(\mathbb{P}^2,2) $，即关于 $ Y $ 的五点标记的次数为 2 的稳定映射的模空间，其配备有 0 维的虚拟基本类。
• 通过 [Ga1] 中发展的相对 Gromov-Witten 理论计算虚拟不变量 $ N_d $，使用障碍丛计算和模空间上的恰当序列。
• 识别并减去边界分量中的非枚举性贡献：具有五个标记点的双覆盖的双切线，以及一维的稳定映射族。
• 通过相对障碍理论分析一维边界分量，并利用 $ \overline{M}_{0,0}(\mathbb{P}^1,2) $ 上的陈类积分计算其贡献。
• 应用公式 $ n_d = N_d - \text{修正项} $，其中修正项来源于双覆盖的双切线和直线的并集。
• 通过修改的障碍理论定义的 K3 不变量，将枚举计数与 Yau-Zaslow 生成函数 $ G(q) $ 进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 关于一般次数为 $ d $ 的平面曲线，不可约平面圆锥五重切的枚举数 $ n_d $ 是多少？
• RQ2 相对 Gromov-Witten 不变量如何解决经典方法中因非枚举性贡献而受阻的问题？
• RQ3 在以六次曲线为分支点的 $ \mathbb{P}^2 $ 的双覆盖构造的 K3 曲面上，其拉回类中关于圆锥的有理曲线数量是多少？
• RQ4 非本原同调类的 K3 不变量如何与 Yau-Zaslow 生成函数 $ G(q) $ 相关联？
• RQ5 K3 不变量中是否存在类似于卡拉比-丘三fold Gromov-Witten 理论中的多重覆盖修正项？

主要发现

• 关于次数为 $ d $ 的曲线，五重切不可约圆锥的数量 $ n_d $ 由公式 $ n_d = \frac{1}{5!} d(d-3)(d-4)(d^7 + 12d^6 - 18d^5 - 540d^4 + 251d^3 + 5712d^2 - 1458d - 14580) $ 给出。
• 对于以六次曲线为分支点的 $ \mathbb{P}^2 $ 的双覆盖构造的 K3 曲面，其拉回类中关于圆锥的有理曲线数量为 $ 176256 $，与 $ G(q) $ 的 $ q^5 $ 系数一致。
• 对于非本原类 $ \beta = 2\pi^*\ell $，K3 不变量为 $ n_{2\pi^*\ell} = G_5 + \frac{1}{8} G_2 $，其中 $ G_5 = 176256 $ 且 $ G_2 = 324 $。
• 修正项 $ \frac{1}{8} G_2 $ 源于通过其正规化分解的节点有理曲线的双覆盖，其贡献通过在 $ \overline{M}_{0,0}(\mathbb{P}^1,2) $ 上的陈类积分计算得出。
• 该修正结构与卡拉比-丘三fold 不变量的结构一致，提示存在一般模式：$ n_\beta = \sum_k \frac{1}{k^3} G_{\frac{1}{2}(\frac{\beta}{k})^2 + 1} $。
• 该方法成功计算了经典技术因模空间中复杂边界分量而失效的枚举不变量。