[论文解读] The pillowcase and traceless representations of knot groups II: a Lagrangian-Floer theory in the pillowcase

Matthew Hedden, Christopher M. Herald+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 40被引用 6

一句话总结

该论文通过在被子面 orbifold 中的浸入1维流形，为扭结群的迹为零 $SU(2)$ 表示构建了一个相对 ${\mathbb{Z}}/4$-分次的拉格朗日-Floer链复形。通过将 holonomy 修正应用于 Chern-Simons 泛函，作者计算了扭结的奇异 instanton 同调，表明对于 $(3,4)$ 和 $(3,5)$ 扭结，该复形可被构造为完美复形（微分消失），从而说明 instanton 同调同构于链复形本身。

ABSTRACT

We define an elementary relatively $\\mathbb Z/4$ graded Lagrangian-Floer chain complex for restricted immersions of compact 1-manifolds into the pillowcase, and apply it to the intersection diagram obtained by taking traceless $SU(2)$ character varieties of 2-tangle decompositions of knots. Calculations for torus knots are explained in terms of pictures in the punctured plane. The relation to the reduced instanton homology of knots is explored.

研究动机与目标

• 通过在被子面中使用拉格朗日-Floer 理论，为奇异 instanton 同调建立一个具体的计算框架。
• 通过使用最小 holonomy 修正，保留 instanton 链复形的代数解释，以迹为零的 $SU(2)$ 表示为依据。
• 通过分析被子面中浸入1维流形的交点，计算扭结的 $I^{ atural}(S^3, K)$。
• 建立 instanton 链复形成为完美复形（即微分为零）的条件。
• 通过潜在的谱序列探索新不变量与 Khovanov 同调之间的关系。

提出的方法

• 该方法使用扭结的2-辫分解，将一个平凡的2-strand辫隔离，以定义其补辫 $(Y,T)$。
• 迹为零的 $SU(2)$ 表示空间 $R(Y,T)$ 通过限制映射被映射到被子面 $P$，即环面的 orbifold 商。
• 对 Chern-Simons 泛函应用 holonomy 修正，诱导出平凡辫的表示空间在被子面中的修正像 $L_0^\epsilon$。
• instanton 链复形的生成元对应于 $L_0^\epsilon$ 与 $R(Y,T)$ 在 $P$ 中像的横截交点。
• 从这些交点构造一个相对 ${\mathbb{Z}}/4$-分次的拉格朗日-Floer 链复形，其微分计数被子面中的全纯盘。
• 该方法利用由修正参数诱导的 $L_0^\epsilon$ 的同伦，消除双角形对并减少生成元数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种 holonomy 修正，使得对扭结而言，得到的 instanton 链复形是完美的？
• RQ2 拉格朗日-Floer 同调 $H^\natural(Y,T,\pi)$ 在多大程度上依赖于修正 $\pi$ 的选择？
• RQ3 能否通过谱序列将拉格朗日-Floer 同调 $H^\natural(Y,T,\pi)$ 与约化的 Khovanov 同调联系起来？
• RQ4 对于小的修正，鱼尾奇点（阻碍 $\partial^2 = 0$ 的因素）是否可被避免？
• RQ5 该被子面方法能否推广到扭结和链的 $n$-辫分解？

主要发现

• 对于 $(3,5)$ 扭结，当将修正参数 $\epsilon$ 增加到 0.2，且 $\epsilon_A = 0.1$，$\epsilon_B = 0$ 时，恰好得到 7 个交点，与来自 Alexander 多项式的下界一致。
• 对于 $(3,4)$ 扭结，当 $\epsilon$ 增加到 0.8 时，与双角形相关的两个生成元被消除，得到一个微分为零的完美复形。
• 对于 $(3,4)$ 和 $(3,5)$ 扭结，存在一种 holonomy 修正，使得带修正的 Chern-Simons 泛函是完美的，这意味着 instanton 链复形中的所有微分都消失。
• 对于 $(4,7)$ 扭结，仅能通过增加 $\epsilon$ 消除两个双角形对中的一个，但通过 $L_0^\epsilon$ 的正则同伦可同时消除两者，从而得到一个完美复形。
• 拉格朗日-Floer 同调 $H^\natural(L_0, L_1)$ 在 $L_0$ 的正则同伦下保持不变，从而允许通过拓扑操作减少生成元。
• 该构造暗示存在一个从 Khovanov 同调到 $H^\natural(Y,T,\pi)$ 的谱序列，支持了这两个不变量之间关系的猜想。