[论文解读] The planar Cayley graphs are effectively enumerable

Agelos Georgakopoulos, Matthias Hamann|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2015

semigroups and automata theory参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文证明了平面Cayley图——即可在平面上实现且无边交叉的Cayley图——可通过引入一类新的群表示形式，称为平面表示，实现有效枚举。这类表示形式在算法上可识别，从而实现了对所有此类图的系统化、可计算的枚举，并解决了关于平面群有效可枚举性的一个开放问题。

ABSTRACT

We show that a group admits a planar, finitely generated Cayley graph if and only if it admits a special kind of group presentation we introduce, called a planar presentation. Planar presentations can be recognised algorithmically. As a consequence, we obtain an effective enumeration of the planar Cayley graphs, yielding in particular an affirmative answer to a question of Droms et al. asking whether the planar groups can be effectively enumerated.

研究动机与目标

• 确定平面Cayley图是否可被有效枚举，以回应Droms等人提出的一个开放问题
• 通过一类新的群表示形式，刻画存在平面、有限生成Cayley图的群的特征
• 引入并形式化平面表示的概念，作为算法识别平面Cayley图的工具
• 在群表示与平面图实现之间建立一种构造性、算法性的联系

提出的方法

• 引入平面表示的概念——一种特定类型的群表示，其关联的Cayley图是平面且有限生成的
• 证明一个群存在平面、有限生成Cayley图当且仅当它存在平面表示
• 通过组合与图论标准，证明平面表示在算法上可识别
• 通过系统生成所有有效平面表示，构建一种有效的枚举过程
• 利用平面表示的算法可识别性，实现对所有平面Cayley图的递归枚举

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在对具有平面、有限生成Cayley图的群类的有效枚举？
• RQ2 群表示的何种结构特性可确保其关联的Cayley图是平面的？
• RQ3 能否以群表示的形式对平面Cayley图给出可判定的刻画？
• RQ4 能否使平面Cayley图的枚举过程实现算法化与系统化？

主要发现

• 一个群存在平面、有限生成Cayley图当且仅当它存在平面表示
• 平面表示在算法上可识别，从而可为该类群的成员资格提供有效决策程序
• 所有平面Cayley图的集合是有效可枚举的，提供了构造性枚举过程
• 该结果证实了Droms等人关于平面群有效可枚举性的开放问题