[论文解读] The Poincaré Lemma in Subriemannian Geometry

Philipp Harms|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2012

Point processes and geometric inequalities参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文建立了子黎曼几何中的庞加莱引理版本，证明若一个函数的所有水平导数均为 $ r $-阶连续可微，则该函数本身也是 $ C^r $。证明依赖于端点映射的正则性及无穷维分析中的叠加算子，基于陈定理（Chow's Theorem）对子黎曼流形中可达性的研究。

ABSTRACT

This work is a short, self-contained introduction to subriemannian geometry with special emphasis on Chow's Theorem. As an application, a regularity result for the Poincaré Lemma is presented. At the beginning, the definitions of a subriemannian geometry, horizontal vector fields and horizontal curves are given. Then the question arises: Can any two points be connected by a horizontal curve? Chow's Theorem gives an affirmative answer for bracket generating distributions. (A distribution is called bracket generating if horizontal vector fields and their iterated Lie brackets span the whole tangent space.) We present three different proofs of Chow's Theorem; each one is interesting in its own. The first proof is based on the theory of Stefan and Sussmann regarding integrability of singular distributions. The second proof is elementary and gives some insight in the shape of subriemannian balls. The third proof is based on infinite dimensional analysis of the endpoint map. Finally, the study of the endpoint map allows us to prove a regularity result for the Poincaré Lemma in a form suited to subriemannian geometry: If for some $r \geq 0$ all horizontal derivatives of a given function $f$ are known to be $r$ times continuously differentiable, then so is $f$. Sections 1 to 3 are the common work of Martin Bauer and Philipp Harms.

研究动机与目标

• 在标准光滑性假设不适用（因非可积分布）的子黎曼几何中，建立庞加莱引理的正则性结果。
• 弥合非欧几里得、子黎曼设定下水平导数正则性与函数整体正则性之间的差距。
• 提供子黎曼几何的自包含导论，重点强调陈定理及端点映射的几何基础。
• 证明即使切空间仅由水平向量场的迭代李括号张成，水平导数的正则性仍能推出函数本身的相同正则性。

提出的方法

• 采用陈定理的三种不同证明：一种基于奇异分布的 Stefan-Sussmann 理论，一种为子黎曼球的初等构造，一种基于端点映射的无穷维分析。
• 将常秩定理应用于端点映射，构造某点附近的光滑局部截面，实现局部反演并实现正则性传递。
• 在函数空间之间使用叠加算子：$ C([0,1];M) \to C([0,1];\mathbb{R}) $，并证明当输入函数 $ Xf $ 为 $ C^r $ 时，该算子亦为 $ C^r $。
• 利用线性有界泛函 $ I(u,h) = \int_0^1 \sum u_i(t) h_i(t) dt $，将函数 $ f $ 表示为沿曲线的水平导数的积分。
• 构造恒等式 $ f = f(x_0) + I(u, (Xf) \circ \Gamma \circ u) $，其中 $ \Gamma $ 将控制映射为曲线，从而将 $ f $ 的正则性归约为 $ Xf $ 的正则性。
• 依赖于端点映射的光滑性及巴拿赫空间中的隐函数定理，以确保光滑局部截面的存在性及对控制的光滑依赖性。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典庞加莱引理能否推广至子黎曼流形，其中水平向量场不张成完整的切空间？
• RQ2 在何种条件下，所有水平导数的 $ C^r $-正则性可推出函数本身的 $ C^r $-正则性？
• RQ3 子黎曼几何中端点映射的结构如何促进从导数到函数的正则性传递？
• RQ4 陈定理在确保分布为李括号生成（bracket-generating）并实现正则性完全传播中起何种作用？
• RQ5 能否利用端点映射的无穷维分析来证明非可积几何中的正则性结果？

主要发现

• 当所有水平导数 $ Xf $ 均为 $ C^r $ 时，函数 $ f $ 亦为 $ C^r $，即使分布不可积且切空间仅由水平向量场的迭代李括号张成。
• 证明依赖于端点映射存在光滑局部截面，这由在正常控制处对端点映射应用常秩定理所保证。
• 叠加算子 $ \gamma \mapsto (Xf) \circ \gamma $ 为 $ C^r $，确保与曲线复合可保持正则性。
• 恒等式 $ f = f(x_0) + I(u, (Xf) \circ \Gamma \circ u) $ 允许从水平导数重构函数，且由于 $ I $、$ \Gamma $ 和 $ Xf $ 均为 $ C^r $，故 $ f $ 亦为 $ C^r $。
• 该结果对任意 $ r \geq 0 $ 成立，且正则性传递与张成切空间所需的括号数量无关。
• 水平丛上非连续范数的例子表明，度量的光滑性并不意味着在子空间拓扑下连续，凸显了子黎曼正则性的微妙性。