[论文解读] The positive scalar curvature cobordism category

Johannes Ebert, Oscar Randal‐Williams|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 5

一句话总结

该论文通过一种新颖的谱系流形范畴框架，证明了在维度至少为6的闭流形上，正数量曲率（psc）度量的空间具有无限循环空间的同伦类型。通过将Quillen的定理B与Gromov–Lawson的手术技术应用于psc谱系流形范畴，作者将从psc谱系流形范畴到普通谱系流形范畴的遗忘映射的同伦纤维识别为psc度量空间的延拓，从而利用Segal的Γ-空间理论构建了无限循环空间结构，并证明了微分同胚群作用的刚性结果。

ABSTRACT

We prove that many spaces of positive scalar curvature metrics have the homotopy type of infinite loop spaces. Our result in particular applies to the path component of the round metric inside $\mathcal{R}^+ (S^d)$ if $d \geq 6$. To achieve that goal, we study the cobordism category of manifolds with positive scalar curvature. Under suitable connectivity conditions, we can identify the homotopy fibre of the forgetful map from the psc cobordism category to the ordinary cobordism category with a delooping of spaces of psc metrics. This uses a version of Quillen's Theorem B and instances of the Gromov--Lawson surgery theorem. We extend some of the surgery arguments by Galatius and the second named author to the psc setting to pass between different connectivity conditions. Segal's theory of $Γ$-spaces is then used to construct the claimed infinite loop space structures. The cobordism category viewpoint also illuminates the action of diffeomorphism groups on spaces of psc metrics. We show that under mild hypotheses on the manifold, the action map from the diffeomorphism group to the homotopy automorphisms of the spaces of psc metrics factors through the Madsen--Tillmann spectrum. This implies a strong rigidity theorem for the action map when the manifold has trivial rational Pontrjagin classes. A delooped version of the Atiyah--Singer index theorem proved by the first named author is used to moreover show that the secondary index invariant to real $K$-theory is an infinite loop map. These ideas also give a new proof of the main result of our previous work with Botvinnik.

研究动机与目标

• 证明维度d≥6的闭流形上正数量曲率度量的空间具有无限循环空间的同伦类型。
• 为具有正数量曲率的流形开发一个谱系流形范畴框架，以实现对psc度量空间的同伦分析。
• 证明微分同胚群在psc度量上的作用通过Madsen–Tillmann谱分解，从而在有理Pontrjagin类平凡时蕴含强刚性。
• 利用延拓版本的Atiyah–Singer指标定理，证明到实K-理论的二次指标不变量是一个无限循环映射。
• 通过新的谱系流形范畴方法，为作者与Botvinnik先前工作的主要结果提供一个新的证明。

提出的方法

• 使用层论与偏序集模型构建正数量曲率谱系流形范畴，通过灵活且无穷小的边缘结构来建模几何数据。
• 应用Quillen的定理B，将从psc谱系流形范畴到普通谱系流形范畴的遗忘映射的同伦纤维识别为psc度量空间的延拓。
• 利用Gromov–Lawson手术定理及其推广，在谱系流形范畴中实现不同连通性条件之间的转换。
• 采用Segal的Γ-空间理论，从psc谱系流形范畴出发，构建psc度量空间上的无限循环空间结构。
• 利用Atiyah–Singer指标定理的延拓版本，证明到实K-理论的二次指标差映射是一个无限循环映射。
• 证明从微分同胚群到psc度量空间同伦自同构的映射因子化通过Madsen–Tillmann谱，从而在有理Pontrjagin类平凡时获得刚性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 维度d≥6的闭d维流形上正数量曲率度量的空间是否具有无限循环空间的同伦类型？
• RQ2 从psc谱系流形范畴到普通谱系流形范畴的遗忘映射的同伦纤维是否可被识别为psc度量空间的延拓？
• RQ3 微分同胚群如何作用于psc度量空间？该作用能否通过Madsen–Tillmann谱捕捉？
• RQ4 到实K-理论的二次指标不变量是否为无限循环映射？它与psc谱系流形范畴有何关联？
• RQ5 能否通过新的谱系流形范畴框架重新证明作者与Botvinnik先前工作的主要结果？

主要发现

• 当d≥6时，d维球面上正数量曲率度量的空间，限制在同伦可逆元素子空间上，具有无限循环空间的同伦类型。
• 在适当的连通性条件下，从psc谱系流形范畴到普通谱系流形范畴的遗忘映射的同伦纤维被识别为psc度量空间的延拓。
• 微分同胚群在psc度量空间上的作用因子化通过Madsen–Tillmann谱，当流形具有平凡有理Pontrjagin类时，蕴含强刚性定理。
• 利用Atiyah–Singer指标定理的延拓版本，证明了到实K-理论的二次指标差映射是一个无限循环映射。
• psc谱系流形范畴框架为作者与Botvinnik先前工作的主要结果提供了新的证明，确立了psc度量空间上的无限循环空间结构。
• 无限循环空间结构的构造依赖于通过手术与层论技术建立适当同伦条件后，将Segal的Γ-空间理论应用于psc谱系流形范畴。