[论文解读] The projective space has maximal volume among all toric Kähler-Einstein manifolds

Robert J. Berman, Bo Berndtsson|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文证明了在所有环状凯勒-爱因斯坦流形中，复射影空间 $\mathbb{P}^n$ 具有最大的体积，从而证实了猜想 $c_1(X)^n \leq (n+1)^n$。证明基于反证法：假设体积更大，将导出一个异常强烈的莫泽-特鲁迪杰不等式，而该不等式随后被乘积域上的全纯复格林函数所违反，从而确立了该上界。

ABSTRACT

We prove a conjecture saying that complex projective space has maximal volume (degree) among all toric Kaehler-Einstein manifolds of dimension n. The proof is inspired by our recent work on sharp Moser-Trudinger and Brezis-Merle type inequalities for the complex Monge-Ampere operator, but is essentially self-contained.

研究动机与目标

• 确认环状凯勒-爱因斯坦流形 $X$ 的维度 $n$ 下，其度数 $c_1(X)^n$ 满足上界 $(n+1)^n$ 的猜想。
• 建立该几何体积上界与凸几何中关于具有唯一内部格点且重心位于中心的格点多面体的艾赫拉特猜想之间的联系。
• 通过在对数终端奇点上存在凯勒-爱因斯坦度量，将结果推广至奇异环状法诺代数簇。
• 将 $\mathbb{C}^{*n}$ 上凯勒-爱因斯坦度量的存在性结果推广至由凸体 $P$ 决定边界行为的情形。

提出的方法

• 假设存在一个环状凯勒-爱因斯坦流形 $X$ 满足 $c_1(X)^n > (n+1)^n$，由此在 $\mathbb{C}^n$ 的某域 $\Omega \subset \mathbb{C}^n$ 上，对 $T^n$-不变的全纯凸函数导出一个极为强烈的莫泽-特鲁迪杰不等式。
• 利用全纯凸函数空间中 $T^n$-不变测地线路径上泛函 $\mathcal{G}(u)$ 的测地线凸性，推导出具有最优常数的莫泽-特鲁迪杰不等式。
• 将该不等式扩展至乘积域 $\Omega' = \Omega \times D \subset \mathbb{C}^{n+1}$，其中 $D$ 为单位圆盘，从而获得 $T^{n+1}$-不变全纯凸函数可积指数的下界。
• 通过证明 $\Omega'$ 上以原点为极点的全纯复格林函数违反了由假设不等式所隐含的下界，从而导出矛盾。
• 利用普雷科帕-莱因德勒不等式与勒让德变换技术处理 $T^n$-不变情形，并确保测地线的光滑性。
• 在一维上应用布雷齐斯-默勒不等式于圆盘，以控制乘积域中 $e^{-u}$ 的积分，结合强烈的莫泽-特鲁迪杰界后导致矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 复射影空间 $\mathbb{P}^n$ 是否在所有 $n$ 维环状凯勒-爱因斯坦流形中实现最大体积？
• RQ2 能否证明具有凯勒-爱因斯坦度量的环状法诺流形的猜想体积上界 $c_1(X)^n \leq (n+1)^n$？
• RQ3 艾赫拉特猜想（即凸体具有唯一内部格点且重心位于中心）在对应于环状法诺流形的德耳扎特多面体上在多大程度上成立？
• RQ4 能否通过关联凸体 $P$ 的几何性质来刻画 $\mathbb{C}^{*n}$ 上凯勒-爱因斯坦度量的存在性？
• RQ5 由环状流形上的凯勒-爱因斯坦度量导出的莫泽-特鲁迪杰不等式是否过强，以至于与已知的全纯凸函数不一致？

主要发现

• 本文确认：对于任意具有凯勒-爱因斯坦度量的 $n$ 维光滑环状法诺流形 $X$，其上同调数 $c_1(X)^n$ 满足 $c_1(X)^n \leq (n+1)^n$。
• 当且仅当 $X = \mathbb{P}^n$ 时达到最大体积，且此时有等式 $c_1(\mathbb{P}^n)^n = (n+1)^n$。
• 证明通过反证法完成：假设体积上界被违反，将导致一个过强的莫泽-特鲁迪杰不等式，该不等式隐含的可积指数下界被 $\Omega' = \Omega \times D$ 上的全纯复格林函数所违反。
• 该方法可推广至奇异环状法诺代数簇，在对数终端奇点上存在凯勒-爱因斯坦度量的条件下，结果成立，从而推广了 Wang-Zhou 的结果。
• 获得一个新刻画：一个包含原点在其内部的有界凸体 $P$，其重心为原点，当且仅当存在 $\mathbb{R}^n$ 上的凸函数 $\phi$，使得 $MA_{\mathbb{R}}(\phi) = e^{-\phi}dx$，且 $\phi$ 的梯度像为 $P$。
• 该结果改进了比肖普的爱因斯坦度量体积估计，尤其在环状情形下，消除了对法诺指标 $I(X)$ 的依赖。