[论文解读] Moser-Trudinger type inequalities for complex Monge-Ampère operators and Aubin's "hypothèse fondamentale"

Robert J. Berman, Bo Berndtsson|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 48被引用 26

一句话总结

本文在紧致整量凯勒流形及 ℂⁿ 中的拟凸区域上证明了阿比恩关于复蒙日-安培算子的莫泽-特鲁迪杰类型不等式之'基本假设'。研究建立了单位球上 S¹-不变函数的精确不等式，将其与布雷齐斯-默勒类型不等式关联，并应用于黎曼型复蒙日-安培方程解的存在性与爆破分析。

ABSTRACT

We prove Aubin's "Hypothese fondamentale" concerning the existence of Moser-Trudinger type inequalities on any integral compact Kähler manifold X. In the case of the anti-canonical class on a Fano manifold the constants in the inequalities are shown to only depend on the dimension of X (but there are counterexamples to the precise value proposed by Aubin). In the different setting of pseudoconvex domains in complex space we also obtain a quasi-sharp version of the inequalities and relate it to Brezis-Merle type inequalities. The inequalities are shown to be sharp for S^{1}-invariant functions on the unit-ball. We give applications to existence and blow-up of solutions to complex Monge-Ampère equations of mean field (Liouville) type.

研究动机与目标

• 证明关于紧致凯勒流形上整量凯勒类的复蒙日-安培算子的莫泽-特鲁迪杰型不等式之阿比恩'基本假设'。
• 在 ℂⁿ 中的拟凸区域上建立莫泽-特鲁迪杰不等式的准精确版本，并将其与布雷齐斯-默勒型不等式关联。
• 分析单位球上 S¹-不变函数情形下不等式的精确性。
• 将不等式应用于均场（黎曼型）复蒙日-安培方程解的存在性与爆破行为分析。
• 研究极值函数的作用及临界与超临界情形下解的结构。

提出的方法

• 利用线丛上正曲率度量空间的马布希度量，通过测地线上的凸性进行分析。
• 将空间 $k\mathcal{H}_0(X,\omega)$ 识别为全纯线丛 $L$ 的 $k$ 次张量幂上度量的空间 $\mathcal{H}(kL)$，其中 $c_1(L)=[\omega]$。
• 将蒙日-安培能量泛函 $\mathcal{E}_\omega(u)$ 作为实情形中狄利克雷能量的替代。
• 推导出不等式 $\log\int_X e^{-ku}dV \leq Ak^{n+1}(-\mathcal{E}_\omega(u)) + B$，其中 $u \in \mathcal{H}_0(X,\omega)$，且常数仅依赖于维度（当 $[\omega]$ 为整量时）。
• 利用准精确的布雷齐斯-默勒不等式分析解的爆破行为与奇点结构。
• 分析单位球中的径向解，以研究临界情形 $\gamma = n+1$，并推测极值函数的径向对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿比恩的'基本假设'是否对具有整量凯勒类的紧致凯勒流形上的复蒙日-安培算子成立？
• RQ2 是否可在 ℂⁿ 中的拟凸区域上建立准精确的莫泽-特鲁迪杰不等式？其与布雷齐斯-默勒不等式有何关联？
• RQ3 单位球上莫泽-特鲁迪杰不等式的精确常数是否仅由 $S^1$-不变函数实现？
• RQ4 在临界与超临界情形 $\gamma = n+1$ 与 $\gamma > n+1$ 下，复蒙日-安培方程的解具有何种行为？
• RQ5 在单位球中，泛函 $\mathcal{G}_\gamma$ 的最大值存在是否意味着解具有径向对称性？

主要发现

• 本文证明了具有整量凯勒类的紧致凯勒流形上阿比恩的'基本假设'，建立了不等式 $\log\int_X e^{-ku}dV \leq Ak^{n+1}(-\mathcal{E}_\omega(u)) + B$，其中 $u \in \mathcal{H}_0(X,\omega)$。
• 对于反 canonical 类中的法诺流形，不等式中的常数仅依赖于复维数 $n$，但通过反例表明阿比恩所提出的精确值不正确。
• 在 ℂⁿ 中的单位球上，对于 $S^1$-不变函数，莫泽-特鲁迪杰不等式是精确的，极值函数 $\phi_0^\epsilon$ 在 $\epsilon \to 0$ 时达到精确常数。
• 该不等式被证明等价于一个索伯列夫型估计：对所有 $p \in (1,\infty)$，有 $\|u\|_{L^p(X)}^{n+1} \leq Cp^n(-\mathcal{E}_\omega(u))$，其中常数 $C$ 仅依赖于 $\omega$。
• 在临界情形 $\gamma = n+1$ 下，泛函 $\mathcal{G}_\gamma$ 有上界当且仅当精确的莫泽-特鲁迪杰不等式成立，而该结论将由所有极值解均为径向的猜想所推出。
• 在超临界情形 $\gamma > n+1$ 下，泛函 $\mathcal{G}_\gamma$ 无上界，意味着不存在最大值，且相关蒙日-安培方程的解在 $\mathcal{E}^1(\Omega)$ 中不存在。