[论文解读] The Provability of Consistency

Sergei Artëmov|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2019

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 18被引用 14

一句话总结

本文在皮亚诺算术（PA）系统内对皮亚诺算术的一致性给出了形式化证明，通过避免使用标准的算术公式 ${\sf Con}_{\sf PA}$，从而绕过了哥德尔第二不完备定理。取而代之的是，它将一致性形式化为一个方案（scheme），利用一个原始递归选择函数，验证每一个有限的 PA-推导均不导出矛盾，从而证明一致性可以在 PA 内被证明，而无需将其内化为单一公式。

ABSTRACT

We offer a mathematical proof of consistency for Peano Arithmetic PA formalizable in PA. This result is compatible with Goedel's Second Incompleteness Theorem since our consistency proof does not rely on the representation of consistency as a specific arithmetical formula. Our findings show that formal theories can finitely formalize proofs of certain properties presented as schemes without reducing the presentation of those properties to a single formula. We outline a theory of proving schemes in PA.

研究动机与目标

• 挑战普遍认为 PA 无法证明自身一致性的信念，该信念源自哥德尔第二不完备定理。
• 表明当一致性未被简化为单一算术公式时，对哥德尔定理的‘不可能性’解读是不合理的。
• 在 PA 内形式化内容性数学推理——特别是以方案表达的性质证明——从而扩展其证明论的范围。
• 通过证明一致性证明可在其所关注的系统内形式化，为希尔伯特纲领正名，前提是承认方案作为有效的证明形式。

提出的方法

• 不将一致性形式化为单一公式 ${\sf Con}_{\sf PA}$，而是形式化为一个方案：对任意有限 PA-推导 $S$，$S$ 不包含 $\bot$。
• 为每个推导 $S$ 中的公式 $\varphi$ 引入一个算术可定义的不变量 ${\cal I}_S(\varphi)$，使得 ${\cal I}_S(\varphi)$ 对 $S$ 中所有 $\varphi$ 成立，但 ${\cal I}_S(\bot)$ 不成立。
• 使用一个原始递归选择函数 $t(x)$，对每个标准数项 $n$，返回一个证明 $t(n)$ 证明 $\neg n:\bot$，从而验证没有任何标准 $n$ 能导出矛盾。
• 证明所有前提 $\neg 0:\bot, \neg 1:\bot, \neg 2:\bot, \ldots$ 可通过一个有限方案在 PA 内被证明，而无需证明全称结论 $\forall x\, \neg x:\bot$。
• 使用哥德尔编号和选择函数，在 PA 内形式化完全归纳法方案的证明，表明此类方案化证明是可形式化的。
• 拒绝将 ${\sf Con}_{\sf PA}$ 视为一致性原理，该原理假设所有一致性证明都必须被内化为单一公式，转而主张方案的证明是合法的形式化方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 如果避免将一致性标准内化为 ${\sf Con}_{\sf PA}$，PA 是否能在其自身内形式化地证明其一致性？
• RQ2 是否可能在 PA 内形式化那些不可约约为单一公式的、内容性数学证明，如方案的证明？
• RQ3 哥德尔第二不完备定理是否真正阻碍 PA 内的一致性证明，还是障碍源于对表达方式的人为限制？
• RQ4 形式可证性的概念能否超越句子而扩展到包括方案？其证明论后果是什么？
• RQ5 选择函数的使用在多大程度上使得 PA 能够对无限条目集合进行有限形式化？

主要发现

• PA 可通过将一致性表示为方案而非单一公式 ${\sf Con}_{\sf PA}$，在形式上证明其自身的一致性，从而绕过哥德尔第二不完备定理。
• 一致性证明可在 PA 内通过一个原始递归选择函数 $t(x)$ 形式化，该函数对每个标准 $n$ 生成一个证明 $t(n)$ 证明 $\neg n:\bot$，从而确保没有任何标准推导导致矛盾。
• 完全归纳法的性质在 PA 内被形式化为一个方案，其证明也可在 PA 内形式化，表明基于方案的证明在系统内是有效的。
• 不变量 ${\cal I}_S(\varphi)$ 的构造方式为：对推导 $S$ 中的所有公式 $\varphi$ 成立，但对 $\bot$ 不成立，从而确认 $S$ 不是矛盾的推导。
• 本文否定了 ${\sf Con}_{\sf PA}$ 作为一致性原理，表明并非所有一致性证明都必须被内化为单一公式，且这种内化并非形式可证性的必要条件。
• 通过承认方案的证明是可形式化的，本文扩展了 PA 内形式可证性的范围，使得诸如 $\forall x[t(x) = 0]$ 这类性质的自洽验证成为可能，而无需依赖外部的一致性假设。