[论文解读] The QCD beta-function from global solutions to Dyson-Schwinger equations

Guillaume van Baalen, Dirk Kreimer+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 28被引用 30

一句话总结

本文通过非微扰方法利用未截断的Dyson-Schwinger方程推导了QCD的β函数，将问题简化为胶子异常维数的单个非线性常微分方程。在对未知函数P(x)施加温和假设的前提下，证明了渐近自由性，并建立了所有解的通用幂律界，表明所有解在所有微扰阶次上一致，且当x→0时衰减快于任意幂律。

ABSTRACT

We study quantum chromodynamics from the viewpoint of untruncated Dyson-Schwinger equations turned to an ordinary differential equation for the gluon anomalous dimension. This nonlinear equation is parameterized by a function P(x) which is unknown beyond perturbation theory. Still, very mild assumptions on P(x) lead to stringent restrictions for possible solutions to Dyson-Schwinger equations. We establish that the theory must have asymptotic freedom beyond perturbation theory and also investigate the low energy regime and the possibility for a mass gap in the asymptotically free theory.

研究动机与目标

• . 通过未截断的Dyson-Schwinger方程非微扰地推导QCD的β函数。
• . 将完整的方程组约化为胶子异常维数的单个非线性常微分方程（ODE）。
• . 在对未知函数P(x)施加最小假设的前提下，研究其对非微扰结构的影响。
• . 证明在QCD中渐近自由性可超越微扰理论而成立。
• . 分析低能区并探讨渐近自由理论中是否存在质量间隙。

提出的方法

• . 对QCD应用背景场方法，识别出一个与β函数相关的单一不变电荷C。
• . 使用组合Dyson-Schwinger方程和Hochschild上同调，将Hopf代数结构分解为阿贝尔子群与正规子群。
• . 将系统约化为一个以未知函数P(x)为参数的胶子异常维数γ1(x)的非线性常微分方程。
• . 利用γk(x)的递归结构以及典型规范场论中常见的(1 − x∂x)算子的微分方程。
• . 使用积分表示和余项映射R[γ2](x)控制收敛性与渐近行为。
• . 使用比较定理和积分核K[γ1, γ2](x0, x)来控制解之间的差异，并证明通用渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 . 即使在未完全掌握P(x)的情况下，QCD的β函数是否仍能在微扰理论之外表现出渐近自由性？
• RQ2 . 在对P(x)施加最小假设的前提下，Dyson-Schwinger方程的结构对胶子异常维数施加了何种约束？
• RQ3 . 是否可以证明未截断的Dyson-Schwinger方程的全局解尽管是发散级数，仍能在所有微扰阶次上保持一致？
• RQ4 . 解在耦合常数x → 0时的行为如何？何种通用标度律会浮现？
• RQ5 . 在x → 0时，任意两个解之间的差异是否存在通用衰减速率，且该衰减速率是否可量化？

主要发现

• . 在对P(x)施加温和假设的前提下，无论其具体形式如何，该理论均表现出超越微扰理论的渐近自由性。
• . 所有γ1(x)的非线性常微分方程的解在所有有限微扰阶次上与发散幂级数解一致。
• . 任意两个解之间的差异在x → 0时衰减快于任意幂律，具体表现为e−C/x的形式，其中C > 0。
• . 建立了通用的幂律界：当s < 1时，γ1(x) ≤ Cb x；当s = 1时，γ1(x) ≤ Cb x |ln(x)|；当s > 1时，γ1(x) ≤ Cb x^{1/s}。
• . 在对P(x)施加温和假设的前提下，所有解在区间[0, x0]上均被Cb x有界，其中C > 0为某常数。
• . 积分核K[γ1, γ2](x0, x)在x → 0时衰减快于任意幂律，从而保证了解与其截断级数之间具有强收敛性。