[论文解读] The Quantum and Classical Complexity of Translationally Invariant Tiling and Hamiltonian Problems

Daniel Gottesman, Sandy Irani|arXiv (Cornell University)|May 14, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用 22

一句话总结

该论文通过仅在系统尺寸 N 中编码输入，确立了平移不变铺砖和哈密顿量问题的计算难度，表明在 N×N 网格上的经典铺砖问题是 NEXP-完全的，而一维量子哈密顿量问题是 QMA_EXP-完全的。尽管瓷砖规则和边界条件固定，这些问题依然具有计算难度，这意味着即使在对称且物理上自然的系统中，也能编码通用计算。

ABSTRACT

We study the complexity of a class of problems involving satisfying constraints which remain the same under translations in one or more spatial directions. In this paper, we show hardness of a classical tiling problem on an N x N 2-dimensional grid and a quantum problem involving finding the ground state energy of a 1-dimensional quantum system of N particles. In both cases, the only input is N, provided in binary. We show that the classical problem is NEXP-complete and the quantum problem is QMA_EXP-complete. Thus, an algorithm for these problems which runs in time polynomial in N (exponential in the input size) would imply that EXP = NEXP or BQEXP = QMA_EXP, respectively. Although tiling in general is already known to be NEXP-complete, to our knowledge, all previous reductions require that either the set of tiles and their constraints or some varying boundary conditions be given as part of the input. In the problem considered here, these are fixed, constant-sized parameters of the problem. Instead, the problem instance is encoded solely in the size of the system.

研究动机与目标

• 研究平移不变铺砖和哈密顿量问题是否在规则和对称性固定的情况下仍具有计算难度。
• 确定当唯一输入为以二进制编码的系统尺寸 N 时，此类问题的复杂性是否依然很高。
• 证明即使瓷砖集合和边界条件恒定，仅通过系统尺寸编码计算，问题依然困难。
• 将先前的难度结果扩展到输入最小化且物理上自然的设置中，避免任意参数化。

提出的方法

• 从已知困难问题（如图灵机模拟）归约到具有固定瓷砖集合和边界条件的铺砖问题。
• 在一维链中构建时钟轨道和计算阶段，以模拟图灵机的演化。
• 在量子哈密顿量中使用能量惩罚，以强制正确计算并排斥无效配置。
• 设计边界条件（有限链、环状、反射对称性）以控制系统行为并施加约束。
• 将计算编码在系统尺寸中，以二进制表示 N，从而最小化输入参数。
• 应用标准 QMA-完全性技术，证明无效配置的能量间隙为 Ω(1/N⁵)。

实验结果

研究问题

• RQ1 当仅系统尺寸 N 可变时，平移不变铺砖问题是否可以是 NEXP-完全的？
• RQ2 一维平移不变量子哈密顿量的基态能量问题是否是 QMA_EXP-完全的？
• RQ3 计算通用性是否可以仅通过固定规则和系统尺寸作为唯一输入编码到系统中？
• RQ4 若缺少可变参数（如瓷砖集合或边界条件），是否能避免铺砖和哈密顿量问题的难度？
• RQ5 对称性（如反射、旋转）在保持或破坏此类系统中的计算难度方面起什么作用？

主要发现

• 在固定瓷砖集合和边界条件的一般 N×N 网格上，经典铺砖问题是 NEXP-完全的，即使仅以 N 作为输入。
• 对于具有固定相互作用的一维 N 个粒子的量子哈密顿量问题，其复杂度为 QMA_EXP-完全，输入大小为 log N。
• 若存在一个在 N 的多项式时间内求解铺砖或哈密顿量问题的算法，则分别意味着 NEXP = EXP 或 BQEXP = QMA_EXP。
• 在量子模型中，无效配置的能量间隙为 Ω(1/N⁵)，确保对错误解施加显著惩罚。
• 该构造在反射对称性和周期性边界条件下依然困难，尽管二维中的旋转对称性仍为开放问题。
• 该哈密顿量在无限链极限下收敛到一个非困难的哈密顿量，表明困难实例在热力学极限下并不持续。