[论文解读] The Quantum Approximate Optimization Algorithm performance with low entanglement and high circuit depth

Rishi Sreedhar, Pontus Vikstål+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 9

一句话总结

本文通过使用较低键维数 D 的矩阵乘积态（MPS）模拟来限制纠缠，研究了量子近似优化算法（QAOA）在 MaxCut 和 Exact Cover 3 问题中纠缠的作用。研究发现，当纠缠程度较低（D ≈ 10）且量子线路深度适中（p ≈ 30）时，QAOA 即可实现近似最优性能，表明纠缠并非成功的关键资源；此外，低 D 模拟中获得的近似参数与精确最优参数高度吻合，从而为 QAOA 提供高效的经典预训练方法。

ABSTRACT

Variational quantum algorithms constitute one of the most widespread methods for using current noisy quantum computers. However, it is unknown if these heuristic algorithms provide any quantum-computational speedup, although we cannot simulate them classically for intermediate sizes. Since entanglement lies at the core of quantum computing power, we investigate its role in these heuristic methods for solving optimization problems. In particular, we use matrix product states to simulate the quantum approximate optimization algorithm with reduced bond dimensions $D$, a parameter bounding the system entanglement. Moreover, we restrict the simulation further by deterministically sampling solutions. We conclude that entanglement plays a minor role in the MaxCut and Exact Cover 3 problems studied here since the simulated algorithm analysis, with up to $60$ qubits and $p=100$ algorithm layers, shows that it provides solutions for bond dimension $D \approx 10$ and depth $p \approx 30$. Additionally, we study the classical optimization loop in the approximated algorithm simulation with $12$ qubits and depth up to $p=4$ and show that the approximated optimal parameters with low entanglement approach the exact ones.

研究动机与目标

• 探究纠缠是否为变分量子算法（如 QAOA）在优化问题上表现的关键资源。
• 评估通过矩阵乘积态键维数 D 控制的有限纠缠对 QAOA 在 MaxCut 和 Exact Cover 3 问题上成功率的影响。
• 确定是否可通过低纠缠的经典模拟，获得可用于训练的 QAOA 最优参数的高精度近似。
• 评估在减少纠缠和高线路深度（p 最高达 100）条件下，QAOA 性能的可扩展性与鲁棒性。

提出的方法

• 通过使用键维数 D 较低的矩阵乘积态（MPS）模拟 QAOA，以限制纠缠，从而实现最多 60 量子比特和 p=100 层的类经典可处理模拟。
• 应用确定性采样以降低计算成本，同时保持解质量的统计相关性。
• 使用密度矩阵重整化群（DMRG）算法，对低 D MPS 表示下的近似代价景观进行参数优化。
• 将低 D 模拟中获得的近似最优参数（γ, β）与全 D（D=64）模拟中的精确参数进行比较，以评估保真度。
• 针对 100 个 MaxCut 实例，分析在 p=1 至 4 深度下，归一化至标准 QAOA（D=64）的成功率统计分布。
• 研究不同键维数下最优参数的模式，以识别可用于 QAOA 训练的可转移初始量子态（ansatz）。

实验结果

研究问题

• RQ1 当通过低键维数 D 的矩阵乘积态模拟限制纠缠时，QAOA 性能是否会显著下降？
• RQ2 在高线路深度（p ≈ 100）下，低纠缠模拟（D ≈ 10）是否可在 MaxCut 和 Exact Cover 3 问题上实现近似最优解质量？
• RQ3 低 D MPS 模拟中获得的最优 QAOA 参数（γ, β）在多大程度上能近似全 D 模拟中的精确最优参数？
• RQ4 在低键维数下，最优参数的模式是否在不同线路深度（p=2 至 4）下保持一致，从而支持经典预训练？
• RQ5 将低 D 模拟中获得的近似参数用于精确模拟时，其成功率是否可与标准 QAOA 相当？

主要发现

• 即使在 p=100 的高线路深度下，QAOA 在 MaxCut 和 Exact Cover 3 问题上仍能通过 D ≈ 10 的键维数实现近似最优性能，表明纠缠并非成功的关键资源。
• 在 p=3 和 p=4 时，低 D 模拟（D≥12）获得的最优参数与 10 个 MaxCut 实例中的 9 个的精确最优参数高度一致，显示出极高的参数保真度。
• 使用低 D 模拟（D≈8）获得的近似参数，其 QAOA 中位数成功率可达标准 QAOA 性能的约 50%，部分实例甚至超过 100%，归因于有利的参数初始化。
• 对于 D≥12，近似最优参数在不同线路深度（p=2 至 4）下表现出稳定的模式，表明其在 QAOA 初始量子态的经典预训练中具有潜力。
• 归一化至标准 QAOA 的成功率在中等键维数（D≈12）附近趋近于精确值，表明超过该阈值后，进一步增加纠缠带来的收益递减。
• 在低纠缠条件下，QAOA 的经典优化循环依然有效，因为低 D 模拟中获得的近似最优参数与精确值高度接近，尤其在 D≥12 时更为显著。